几何图形变化过程.docVIP

探究几何图形变化过程中性质的变化规律 数学不仅是思维科学，也是实验科学，要求通过实验操作、观察猜想等推理，得到数学结论．近年来，河北省常以此来考查学生的数学实践能力和创新能力，这种实验操作形式也成为进行科学研究的最基本形式．所以在中考中会一直占据重要位置． 我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变化，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”，主要思考方向有： 1．化归到基本图形的“变换性质”； 2．沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性； 3．善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”； 4．善于在情景比较中把握知识或方法的共同点． 专题精讲 题型一 化归到基本图形的变换性质 例1（(2011湖南岳阳)如图①．将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，得到△ABD和△ECF．固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在—起． （1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)，FE交DA于点G(G点不与D点重合)． 求证： （2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合)， 且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE。交FE于点G，连接DG。 探究：_________．请予证明． 分析：此题的背景虽然是由菱形产生，但归结到底只是相似基本图形的其中一种。 如图，只要图中带 的三个角相等，那么就会出现相似三角形。 解：（1）当点A在△CEF内部时如图 ∵△ABD和△CEF是菱形纸片沿对角线剪开得到的 ∴△ABD≌△CEF ∴∠B=∠D=∠CFE=∠E ∵∠DFC=∠CFE+∠GFD=∠B+∠BHF ∠CFE=∠B ∴∠BHF=∠DFG ∴∠BHF∽∠DFG即BD·DG=BF·DF ∵BF=DF ∴BH·DG=BF (当点A在△CEF外部时，同理可证，只证明一种情况给满分) （2）FD+DG=DB或FD+DG=EF 证明：∵AG∥CE ∴∠FAG=∠C ∠FGA=∠E 又∵∠BAD=∠C ∴∠BAD－∠FAD=∠FAG－∠FAD 即∠BAF=∠DAG 又∵∠FGA=∠E ∠E=∠CFE ∴∠FGA=∠CFE ∴ AF=AG ∵AB=AD 所以△ABF≌△ADG ∴BF=DG BD=BF+FD=DG+FD 即FD+DG=DB或FD+DG=EF 对应训练 （10山东临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明． 图1 图1 图2 图3 答案 (1) △ABC为等腰直角三角形。 如图1，在矩形ABED中，∵点C是边DE的中点， 且AB=2AD，∴AD=DC=CE=EB，?D=?E=90?， ∴Rt△ADC?Rt△BEC。∴AC=BC，?1=?2=45?，∴?ACB=90?，∴△ABC为等腰直角三角形。 (2) DE=AD?BE； 如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵?1??CAD=90?，?1??2=90?， ∴?CAD=?2。又∵AC=CB，?ADC=?CEB=90?，∴Rt△ADC?Rt△CEB。∴DC=BE，CE=AD，∴DC?CE=BE?AD，即DE=AD?BE。 (3) DE=BE?AD。 如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，∵?1??CAD=90?，?1??2=90?，∴?CAD=?2，又∵?ADC=?CEB=90?，AC=CB， ∴Rt△ADC?Rt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DC?CE=BE?AD，即DE=BE?AD。 1 1 A B C D E 图1 2 M N A B C D E 图2 1 2 A B C D E M N 图3 1 2 题型二 借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一性和差异性来获得解法 例2 （2011浙江嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H