导数公式的证明(基础).docVIP

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2019-03-11 发布于广东
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导数公式的证明(基础).doc

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导数的定义：f(x)=lim Δy/Δx ??? 用定义求导数公式（1）f(x)=xn ? 求：f(x) （2）f(x)=sinx 求：f(x) （3）f(x)=cosx 求：f(x) ? （4）f(x)=ax 求：f(x) ? （5）f(x)=loga x （6）f(x)=tanx f(x) =lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx =lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)) =1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2 ? （7）f(x)=cotx f(x) =lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx =lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx)) =-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2 ? （8）f(x)=secx f(x) =lim?(sec(x+Δx)-secx)/Δx =lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx) =lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)) =sinx/(cosx)^2=tanx*secx ? （9）f(x)=cscx f(x) =lim?(csc(x+Δx)-cscx)/Δx =lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx =lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx)) =-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx ? （10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx (lnf(x))=(xlnx) f(x)/f(x)=lnx+1 f(x)=(lnx+1)*f(x) f(x)=(lnx+1)*x^x （12）h(x)=f(x)g(x) h(x) =lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx =f(x)g(x)+f(x)g(x) ? （13）h(x)=f(x)/g(x) h(x) =lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx =lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx)) =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx)) =f(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g(x)/(g(x)*g(x)) =[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))x ? （14）h(x)=f(g(x)) h(x) =lim [f(g(x+Δ