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1.（2010 江西卷文17）设函数. （1）若的两个极值点为，且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由. 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 【解析】 （1）由已知有，从而，所以； （2）由， 所以不存在实数，使得是上的单调函数. 2.（2010 湖北卷文21 部分）设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1 （Ⅰ）确定b、c的值 （Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时， 3.（2010 辽宁卷理21）已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）设.如果对任意，，求的取值范围。 24.（山东卷理22）已知函数 （Ⅰ）当a≤时，讨论f(x)的单调性： （Ⅱ）设g(x)=x2-2bx+4.当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈，使，求实数b的取值范围。 【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+，因为 =，所以当时，，令得，所以 此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； 当时，，所以 此时函数在（0，+是减函数； 当时，令=得，解得（舍去），此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数； 当时，令=得，解得，此时函数 在（1，上是增函数；在（0，1）和+上是减函数； 当时，令=得，解得，此时函数 在1）上是增函数；在（0，）和+上是减函数； 当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在（0，1）上是增函数；在（1，+上是减函数。 （Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意， 有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。 （标准答案）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解：（Ⅰ）因为， 所以 ， 令 ， ①当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； ②当， 时，，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，，此时，函数单调递减； ③当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，，此时，函数单调递增. 综上所述： （Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。 由于“对任意，存在，使”等价于 “在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*） 又=，，所以 ①当时，因为，此时与（*）矛盾 ②当时，因为，同样与（*）矛盾 ③当时，因为，解不等式8-4b，可得 综上，b的取值范围是。 注:第二问仔细分析两函数值域的相交情况! 3.（2010 天津卷理21）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。 【解析】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x). Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以,即2. (2011 湖南文22)设函数 (I)讨论的单调性； （II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）的定义域为 令 当故上单调递增． 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增． 当的两根为， 当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减． （II）由（I）知，． 因为，所以 又由(I)知，．于是 若