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上 页 下 页 结 束 返 回 第十一章 流体力学 讨论在惯性系中理想流体在重力场中作定向流动时一流线上的压强. ?x ? y ? l ? n x y 1. 运动流体的压强 由牛顿定律,得 化简得 令 得 可见,对于无黏性运动流体，内部任一点处各不同方位无穷小有向面元上的压强大小可沿用静止流体内一点压强的概念. 2. 惯性系中理想流体在重力作用下作定常流动的伯努利方程 在细流管内任取微团ab,自位置1运动到位置2， 微团ab在位置1、2处的形状发生变化,长度分别为 △l1 和△l2 ,底面积各为 △S1 和 △S2 , 压强和流速分别为 p1 与 p2 、 v1 与 v2 ,并且微团始末位置距重力势能零点得高度各为h1和h2. 由功能原理,得 考虑到微团ab本身的线度和它经过的路径相比很小,因此在以应用动力学原理时可将其视为质点. 而 代入功能原理中 依连续原理 联立得 ——伯努利方程 伯努利方程实质上是流体运动中的功能关系，即单位体积的机械能的增量等于压力差所作的功. ——伯努利方程 表明: 在惯性系中, 当理想流体在重力作用下作定常流动时,一定流线上(或细流管内)各点的压强、单位体积内的动能和势能三者之和为一常量. 伯努利方程在工程上的表述形式: 上式左端三项均为长度量纲,分别为 压力头、速度头和高度头.表明:沿同一条流线,各处总头守恒. ——伯努利方程 对于伯努利方程，应注意以下几点： 1、方程只在惯性系中成立； 3、对于不同的细流管或流线，方程右边的常量具有不同的值。 把伯努利方程运用于水平流管，或在气体中高度差效应不显著的情况，则有 即高速则低压 . 2、只有对同一条细流管（或同一条流线）上的各点才有方程所表明的关系； [例题1] 文特利流量计的原理。文特利管常用于测量液体的流量或流速。如图在变截面管的下方，装有U型管，内装水银。测量水平管道内的流速时，可将流量计串联于管道内，根据水银表面的高度差，即可求出流量或流速。 已知管道横截面为S1和S2 ，水银与液体的密度各为?汞与 ? ，水银面高度差为h，求液体流量。设管道中为理想流体做定常流动。 h 1 2 [解] 在管道中心轴线处取细流线，对流线上1、2两点，有 连续性方程 U型管内为静止液体. 管道中心线上1处与2处的压强差为 流量 等式右方除h外均为常数,因此可根据高度差求出流量. [例题2] 皮托(Pitot)管原理。皮托管常用来测量气体的流速。如图，开口1和1’与气体流动的方向平行，开口2则垂直于气体流动的方向。两开口分别通向U型管压强计的两端，根据液体的高度差便可求出气体的流速。 已知气体密度为? ，液体密度为 ?液 ，管内液面高度差为h，求气体流速。气体沿水平方向，皮托管亦水平放置。空气视作理想流体，并相对于飞机作定常流动。 1 2 h 2′ 1′ [解] 对于1、2两点说来 因 h1 - h2 较小，有 1 2 h 2′ 1′ [例题3] 水库放水，水塔经管道向城市输水以及挂瓶为病人输液等，其共同特点是液体自大容器经小孔出流。由此得下面研究的理想模型：大容器下部有一小孔。小孔的线度与容器内液体自由表面至小孔处的高度h相比很小。液体视作理想流体。求在重力场中液体从小孔流出的速度。 [解] 选择小孔中心作为势能零点，并对从自由表面到小孔的流线运用伯努利方程。因可认为液体自由表面的流速为零。故 式中p0 表示大气压，v 表示小孔处流速， 表示液体密度. 结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由小下落得到的速度是相同的。 h p0 p0 教材P417 11.4.1图. h h0 x E H h D C A B E F (a) (b) [例题] 图所示是一虹吸现象示意图。把一根充满水的弯曲的粗细均匀的虹吸管插入水桶中，于是水就从虹吸管中流出。虹吸管的出口处比桶中水面低 H ，管 CD 比水面高 h 。设水桶很大而虹吸管很细，求虹吸管中水流的速度；以及B、C、D三点的压强。 上 页 下 页 结 束 返 回 第十一章 流体力学