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PAGE \* MERGEFORMAT 1 PAGE \* MERGEFORMAT 1 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则， 在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 等函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点： 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且． （1）求m的值； （2）判定f（x）的奇偶性； （3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1． （2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f（x）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数． 点评： 本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题． 例2：已知函数， （1）讨论函数的奇偶性； （2）证明：f（x）＞0． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质． 专题： 计算题． 分析： （1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数． （2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立． 解答： 解：（1）该函数为偶函数． 由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分） f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x =（）x=（）x=（）x=f（x）（6分） 故该函数为偶函数． …（7分） （2）证明：任取x∈{x|x≠0} 当x＞0时，2x＞20=1且x＞0， ∴2x﹣1＞0， 故 从而…（11分） 当x＜0时，﹣x＞0， ∴f（﹣x）＞0，…（12分） 又因为函数为偶函数， ∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分） ∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分） 点评： 本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用． 例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记． （1）求a的值； （2）求f（x）+f（1﹣x）的值； （3）求的值． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 综合题；函数的性质及应用． 分析： （1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a； （2）写出f（x），代入运算可得； （3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求； 解答： 解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调， ∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）； （2）由（1）知， ∴= ===1； （3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得 n为奇数时，=×1=； n为偶数时，=+f（）==； 综上，=． 点评： 本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题． 题型2：指数函数的图像变换． 例1：已知函数y=|2x﹣2| （1）作出其图象； （2）由图象指出函数的单调区间