线性代数第五章释疑解难.ppt

释 疑 解 难 1. 设 A = (aij)n×n 是 n 阶方阵, 如何判定 A 是 正交矩阵? 答 当 A 满足下列条件之一时, A 是正交矩阵. (1) A 对称, 且 A2 = E. (2) 或者 (3) A 的行(列)向量组是 Rn 的一组规范正交基. 2. 设 a1 , a2 , ··· , an 是线性无关向量组, 与之 等价的正交向量组是否唯一? 答 一般不唯一. 这是因为在正交化过程中, 由于第一步中 b1 的取法不同, 由此求出的与 a1 , a2 , ··· , an 等价的正交向量组 b1 , b2 , ··· , bn 可能 会不同. 3. 如何求方阵 A 的特征值和特征向量? 答 特征值的求法: 解特征方程 | A - ?E | = 0 就可以求出矩阵 A 的特征值. 注意如果 A 为 n 阶 方阵, 则它的特征方程是关于? 的 n 次代数方程, 从而它有 n 个特征根( 如果 ?i 为特征方程的 k 重 根, 则应把它看做 k 个根). 特征向量的求法: 若求对应于?i 的特征向量, 只要解齐次线性方程组 (A - ?iE )x = 0 就可以了. 此齐次方程的任何一个非零解向量都 是 A 的对应于 ?i 的一个特征向量, 而齐次方程的 通解就是对应于 ?i 的所有特征向量. 注意: 如果 ?i 为特征方程的 k 重根, 则齐次线 性方程组 (A - ?iE )x = 0 的基础解系含解向量 的个数可能为 k , 也可能小于 k , 所以对应于 ?i 的特征向量中, 其线性无关的向量个数最多只有 k 个, 也可能少于 k 个. 4. n 阶方阵 A 是否一定有 n 个线性无关的 特征向量? 答 不一定. 当 A 的 n 个特征值两两互异 时, A 有 n 个线性无关的特征向量. 否则, 就不一 定. 例如 是三阶方阵, 它的三个特征值为 ?1 = ?2 = ?3 = -1, A 的对应于?i = -1 (1≤ i ≤ 3)的全部特征向量为 k(1, 1, -1)T . 它们也是 A 的全部特征向量，即 A 只有一个线性无关的特征向量. 5. 一个特征向量只对应于一个特征值, 反之, 一个特征值是否只对应于一个特征向量? 答 否. 设 ? 是 n 阶方阵 A 的 k 重特征值, 则 ? 可以对应于多个线性无关的特征向量. 例如, 有一个二重特征值 ?1 = ?2 = -1, -1 就对应着两个线 性无关的特征向量 6. 如何证明方阵 A 能对角化? 答 证明方阵 A 能对角化, 有下述几种方法: (1) 计算方阵 A 的特征值. 如果 A 的所有特 征值两两互异, 则 A 能对角化.如果 A 的特征方程 有重根但能找到 n 个线性无关的特征向量,则 A与 对角矩阵相似. (2) 不计算矩阵 A 的特征值. 只需证明 A 的 特征值两两互异, 即可证明 A 能对角化. (3) 不计算矩阵 A 的特征值、特征向量, 只 证明存在可逆矩阵 P 和对角矩阵 ? , 使 P-1AP = ? . 7. 已知 n 阶方阵 A 可对角化, 如何求可逆矩 阵 P , 使 P-1AP = diag(?1 , ?2 , ··· , ?n) ? 答 n 阶方阵 A 可对角化,是指存在一个可 逆方阵 P , 使 P-1AP = diag(?1 , ?2 , ··· , ?n) = ? . 由此可知 ?1 , ?2 , ··· , ?n 是 A 的特征值, 设 P = (a1 , a2 , ··· , an), 由 AP = P ? , 可得 Aai = ?iai, 于是 ai 是 A 的对应于 ?i 的特征向量. 求可逆矩 阵P 的问题就转化为求 A 的特征向量. 其具体步 骤如下: Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A 有 s 个不同的特征值 ?1 , ?2 , ··· , ?n ，它们的重数分 别为 n1 , n2 , ··· , ns , n1 + n2 + ··· + ns = n.