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* 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质 性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝1,…,n)相互独立，其中 又已知随机矩阵 则 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质 性质5 设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，记 则 相互独立。其中 ～ (性质5,性质7和性质8不要求) 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质 性质6 设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，则 E(W)＝nΣ. 证明:由定义3.1.4,知 其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立.则 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布 一元统计中, 若X～N(0,1),?～ χ2(n) ,X与 ? 相互独立,则随机变量 下面把 的分布推广到p元总体. 设总体X～Np(0,Σ)，随机阵W ～ Wp(n,Σ),我们来讨论T2＝nXW -1 X的分布. 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布 定义3.1.5 设X～Np(0,Σ),随机阵W～Wp(n,Σ) (Σ?0, n≥p),且X与W相互独立, 则称统计量T2＝nX′W-1 X 为Hotelling T2 统计量,其分布称为服从n个自由度的T2 分布,记为T2 ～ T2 (p,n). 更一般地,若X～Np(μ,Σ) (μ≠0),则称T2 的分布为非中心Hotelling T2 分布，记为 T2 ～ T2 (p,n,μ). 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 性质1 设X(α) ～ Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本, X和A分别为总体Np(μ,Σ)的样本均值向量和离差阵,则统计量 事实上,因 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 而A～Wp(n-1,Σ),且A与X相互独立.由定义 3.1.5知 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 性质2 T2与F分布的关系:设T2～T2 (p,n)， 则 在一元统计中 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 当p=1时,一维总体X～N(0,σ2)， 所以 注意:因 这是性质2的特例:即p=1时,T2~F(1,n). 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 一般地：(性质2的严格证明见参考文献[2]) 其中ξ＝X′Σ-1 X～χ2(p,δ) (δ＝0)，还可以证明 χ2(n-p+1),且ξ与η独立. 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 性质3 设X～Np(μ,Σ), 随机阵W～Wp(n,Σ) (Σ?0, n≥p),且X与W相互独立, T2＝nX′W -1 X 为非中心Hotelling T2 统计量(T2 ～ T2 (p,n,μ)). 则 其中非中心参数 . ～ 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 或 性质3 设X(α) ～ Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本, X 和A分别为样本均值向量和离差阵.记 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 一元统计中(p=1时),t 统计量与参数σ2无关.类似地有以下性质. 性质4 T2统计量的分布只与p,n有关,而与Σ无关. 即 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质 事实上,因X～Np(0,Σ) (Σ＞0),W～Wp(n,Σ