计算方法第七章讲解.pptVIP

* 随堂测验 * 弦截法算法实现 * 本章习题 作业 P238-239 2,7(1)(2),13 * * 迭代法收敛的条件 定理7.1 设函数 在[a,b]上具有连续的一阶导 数, 且满足 （1）对所有的x∈[a,b] 有 ∈[a,b] （2）存在 0 L 1 ,使所有的x∈[a,b]有 ≤ L 则方程 在[a,b]上的解 存在且唯一 ，对任意的 ∈[a ,b] ，迭代过程 均收敛于 。并有误差估计式 * 迭代法收敛的条件 ① ② * 迭代法收敛的条件 由连续函数介值定理知, 必有 ∈[a, b], 使 所以有解存在, 即 假设有两个解 和 , , ∈[a, b]，则 ， 证: 构造函数 ,由条件①对任意的x∈[a, b] ∈[a, b]有 * 迭代法收敛的条件 由微分中值定理有其中?是介于x*和 之间的点 从而有?∈[a,b]，进而有 由条件(2)有 1, 所以 - =0，即 = ，解唯一。 按迭代过程 ,有 由于L1,所以有 ,可见L越小,收敛越快 * 迭代法收敛的条件 再证误差估计式 ① ② ∵ * 迭代法收敛的条件 ∴ 即 ① 得证。 即 ② 得证。 * 迭代法的算法框图 * 局部收敛性 当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根的邻域(局部)收敛。 定理7.2 设 在 的根 的邻域中有连续的一阶导数,且 则迭代过程 具有局部收敛性。 证:由于 ,存在充分小邻域△: ,使成立 这里L为某个定数,根据微分中值定理 由于 ,又当 时 ,故有 由定理7.1知 对于任意的 都收敛 * 例题 例7.4 设 ,要使迭代过程 局部收敛到 ,求 的取值范围。 解： 由在根 邻域具有局部收敛性时, 收敛 条件 * 例题 所以 * 例题 例7.5 已知方程 在 内有根 ,且在 上满足 ,利用 构造一个迭代函数 ,使 局部收敛于 。 解:由 可得, 故 ,迭代公式 局部收敛 * 收敛速度 一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还要求它收敛得比较快。 定义7.2 设迭代过程 收敛于 的根 ,记迭代误差 若存在常数p（p≥1）和c（c0），使 则称序列 是 p 阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。1 p 2时称为超线性收敛。 * 收敛速度 数p的大小反映了迭代法收敛的速度的快慢，p愈大，则收敛的速度愈快，故迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。 * 收敛阶数 定理7.3 设迭代过程 , 若 在所求根 的邻域连续且 则迭代过程在 邻域是p阶收敛的。 证: 由于 即在 邻域 , 所以 有局部收敛性, 将 在 处泰勒展开 根据已知条件得 * 收敛阶数 由迭代公式 及 有 ? * 例题 例7.6 已知迭代公式 收敛于 证明该迭代公式平方收敛。 证: 迭代公式相