2015秋湘教版数学九上4.4《解直角三角形的应用》练习题.docVIP

方法归纳 构造基本图形解直角三角形的实际问题 类型一 构造单一直角三角形解决 【例1】如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD为多少米？(取≈1.73，结果保留整数) 解：在Rt△ACB中，∠CAB=60°，CB=AC·tan60°=32. ∴DB=CB-CD=32-16≈39. 答：荷塘宽DB的长约为39米. 【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长. 变式练习1 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米，≈1.732) 类型二 构造单一非直角三角形解决 【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位). 解：过点C作CD⊥AB于D. 在Rt△BCD中，∵∠B=30°，BC=200 m. ∴CD=BC=100(m)，BD=100 m, 在Rt△ACD中，∵tan∠CAB=,∴AD=≈72, ∴AB=AD＋BD=245(m). 答：隧道AB的长约为245 m. 【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长. 变式练习2 如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈) 类型三 构造双直角三角形解决 【例3】如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45) 解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D. 由题意得∠DAC=45°，∠DAB=60°，∵AD⊥BC,∴sin∠DAC=， cos∠DAC=，tan∠DAB=,即sin45°=，cos45°=， ∴CD=AD=5，∵tan60°=，∴BD=5. BC=BD-CD=5-5≈5.2(海里). 中国海监船赶到点C所用的时间为时，某国军舰到达点C所需的时间为时， ∵＜，∴中国海监船能及时赶到C地救援我国渔民. 【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果: tanβ=,tanα=,∴a=-,b=,h=. 变式练习3 如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度.(≈1.7) 类型四 构造梯形解决 【例4】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B=30°，背水坡AD的坡度为1∶，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长、迎水坡BC的长及BC的坡度(答案保留根号). 解：作DF⊥AB于点F,作CE⊥AB于点E.在Rt△ADF中,DF=45 m,=, ∴AF=45m.在Rt△BCE中,CE=45 m,BE==45. ∴AB=(45+25+45)m. BC==90(m),iBC==. 【方法总结】通过作梯形的高,把梯形转化为直角三角形和矩形,利用解直角三角形等的有关知识加以解决,注意分清坡角和坡度的不同. 变式练习4 如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E.BC=1.8 m，BD=0.5 m，∠A=45°，∠F=29°. (1)求滑道DF的长(精确到0.1 m)； (2)求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离A