带有反位势函数的半线性热方程解的性质-应用数学专业论文.docxVIP

重庆大学硕士学位论文1 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 PAGE PAGE 10 小的初值也是如此；相应地，解在有限时间内会失去正则性，从而产生奇性，或 者说，解或解的某些导数的模当 t ??T0 (T0 为有限时刻)时趋于无穷。这一现象称为 解的爆破(blow- up)。比方说，我们来看一个非线性常微分方程的例子，考察如下 方程 ??dv ??v2， ???dt ? ??v ??v0， ?  t ??0 t ??0， 我们易知其解为：v ? v0 。于是若 v ??0 ，则当t ???1 时，就有 v ????，从而 01 ??v0t v0 0 解发生爆破，不能在 t ??0 上整体存在，因此只能在时间区间 ?0, ?? 1 ??上得到局部解。 v0 ?? 另一方面，在一些特殊的条件下，对非线性发展方程仍然可以得到整体解。事实 上，前面例题中，若初值 v0 ??0 ，则解就在 t ??0 上整体存在，且当 t ????时，解 衰减为零。 非线性发展方程的爆破理论主要解决的问题是爆破解和整体解的存在性问 题，对爆破解还要研究“爆破点集”、“爆破率”、“爆破时刻”的估计等问题，对整 体解还要研究整体解的估计、整体解的梯度估计等问题。研究非线性发展方程的 爆破理论所使用的主要方法是上下解法、能量方法、凸性方法、极值原理等。 对非线性发展方程的研究目前己得到了许多有价值的成果，对解决各领域的实际 问题起了巨大的现实指导作用[1-4]。而本文就是从数学经典理论的角度来对爆破现 象进行研究。 对偏微分方程解的整体形态的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以 解得存在性为前提，研究各种初边值问题以及柯西问题解的存在性是偏微分方程 的基本问题之一，Sobolev 空间的引入为求解初边值问题及柯西问题提供了有效 的途径。Sobolev 空间理论是上世纪 30 年代初由苏联数学家 S. L. Sobolev 发展起 来的。这些空间是由多个实变量的弱可微函数所组成的 Banach 空间，他们是研究 偏微分方程的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生 的。而对于非线性发展方程的经典解的整体存在性的研究，已经有了很多结果。 并已发展了不少有效的处理方法，例如紧致性方法、单调性方法、Galerkin 方法、 半群方法等。近年来，人们应用位势井方法研究了一系列双曲型或抛物型方程的 整体解的存在性或不存在性。总的来说，目前的理论研究工作已经取得了重大进 展，特别是一维问题，现在正向更加深入、更加本质的方向发展。目前的发展趋 势，一是向多维方面发展，二是向非线性耦合的发展方程组方向发展，这些方面 的问题是比较难的，目前得到的成果也较少，但也正是大有可为的。 1.2 国内外研究现状 目前国内外数学界对爆破理论的研究很活跃，取得了很多研究成果。其中一 个开创性的工作是 1966 年 H. Fujita[5]研究了下面著名方程的临界指标 ?ut ? ???u ??u p , x ??Rn , t ??0,  (1.1) ?u(x,0) ??u0 ( x), x ??R, 得出了如下重要结论： 当1 ?  p ??p* ??1 ??2 时，方程(1.1)的非负整体解只能是 u ??0 ； n 当 p ? p??时，对充分小的初值，方程(1.1)有非负整体解。 其中，数值 p??被称为 Fujita 临界指数。随后，Fujita 型临界指数的研究引起了国内 外众多数学家的兴趣。Hayakawa[6]，Kobayashi[7]等人证明了在临界情况时，解对 任意初值爆破。 在文献[8,9,10,11]中，作者研究了如下非线性抛物方程的 Cauchy 问题， ?ut ? ???um ??u p , x ??R n , t ??0,  (1.2) ?u(x,0 ) ??u0 ? ( x), x ??Rn , 2 得出了类似的 Fujita 临界指标为 pm ??m ? 。Mochizuki，Mukai 和 Suzuki 等人 n 在文献[12][13]中证明了当 p ??m ??2 时，方程(1.2)的解在有限时间内发生爆破。 n Friedman[14]等人考虑了抛物型方程 put ???u ??u p (1.3) 的 Dirichlet 问题，得到方程的解整体存在和有限时刻爆破的充要条件，在适当的 限定条件下得到方程的爆破速率。 自然界中一些重要现象，比如热弹性理论、生物种群的疾病传播以及化学中 孤立离子的扩散路径等的研究都可以抽象为带有非局部边界条件的反应扩散方 程。Day[15,16]分析了一类一维的带有如下非局部边界