分数阶积分方程小波解法-应用数学专业论文.docxVIP

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2018-12-06 发布于上海
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分数阶积分方程小波解法-应用数学专业论文

– – PAGE 1 – 1.1 ( Fractional calculus) [1?3] , . 300 , , . , . Leibniz , 1695 9 30 Leibniz , 1/2 . B.Ross [4] 1974 6 . K.B.Oldham J.Spanier [5] 1968 1974 , , . . 19 Riemann-Liouville(R-L) , [6?10]. 1999 , Podlubny I. [11], , . 2006 , Kilbas [12] [13?15]. , , . , , . , . , . . 1.2 1.2.1 H, V , A , D(A) V , R(A) ? V , f ? V , Au = f. (1.1) a(φ, ψ) = (Aφ, ψ), φ, ψ ∈ D(A). (1.2) (1.1) , , A . . A IAI = sup IAxI , x ∈ Rn, x I= 0. (1.3) IxI IAxI ≤ IAIIxI, x ∈ Rn. A κN = IAIIA?1I. , , , . . xb, -b ∈ Rn, x - x Ax = b A- = -b , x-x ? x = A?1(b ? -b), x - -IbI = IAxI ≤ IAIIxI, - Ix ? xI ≤ IA?1II(b ? -b)I. -ψIx ? xI - ?1 Ib ? -bI Ib ? -bI (1.4) IxI ≤ IAIIA -x, x, b, b (1.4) . - - I = κA IbI . IbI Fredholm , b k(x, t)y(t) dt = f (x), x ∈ [a, b]. (1.5) a Ay = f, (1.6) A : X → Y (Ay)(x) = b k(x, t)y(t) dt, x ∈ [a, b]. a , A Banach X Banach Y , f ∈ Y , y . , y Ay = f. , X Y . , X , . , {Xn : n ∈ N } X , yn ∈ Xn, rn := Ayn ? f, . 1.2.2 φj (x) . y(x) n [a,b] n yn(x) = γ aj φj (x), (1.7) j=1 , aj , yn(x) . Fredholm y(x) = b k(x, t)y(t)dt + f (x). (1.8) a (1.7) , n n b γ aj φj (x) ? γ aj k(x, t)φj (x)dt ? f (x) = r(x). (1.9) aj aj , (1.7) (1.8) y(n)(x). aj : (1.9) ψj (x)(k = 1, 2, · · · , n), j, r(x) ψj (x) . j=1 a ψj (x) = δ(x ? xj ), ; ψj (x) = xj (j = 1, 2, · · · , n), ; ψj (x) = w(x)φj (x), w(x) [a, b] w(x) φj (x). , Galerkin . , Galerkin . 1.Galerkin X = Y = L2[0, 1], (· , ·) X . Xn X , dim(Xn) = dn. i=1{φi}d i=1 Xn = span{φ1, φ2, · · · , φdn }, , yn ∈ Xn . yn dn yn(t) = γ αj φj (t). j=1 (1.5) , rn(x) = b b k(x, t)yn(t) dt ? f (x) a dn = k(x, t) γ αj φj (t) dt ? f (x), a ζ x ζ b, (1.10) a j=1 rn (1.10) , rn = Kyn ? f. yn αj , rn (rn, φi) = 0, i = 1, 2, · · · , dn, n 注 1. (1.11) dn γ αj (Kφj , φi) = (f, φi), i = 1, 2, · · · , dn, (1.12) j=1 Aα = β, (1.13) Aij = b b k(x, t)φi(t)φj (x) dt dx, a a βi = b f (x)φi(x) dx. a 2. (1.6), Galerkin (rn, φi) = 0, i = 1, 2, · · · , dn, n 注 1, Galerkin i=1, {xi}dn , i=1 b rn(xi) = b k(xi, t)yn(t) dt ?