带有随机系数的随机微分方程解的存在唯一性及马尔可夫性质-计算数学专业论文.docxVIP

Classified Index: O211.63 U.D.C: 510 Thesis for the Master Degree in Science EXISTENCE AND UNIQUENESS AND MARKOV PROPERTY OF SOLUTIONS FOR SDE WITH THE RANDOM COEFFICIENTS Candidate: Guixin Hu Supervisor: Prof. Ke Wang Academic Degree Applied for: Master of Science Specialty: Computational Mathematics Affiliation: Department of Mathematics Date of Defence: June, 2008 Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 哈尔滨 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 – – I – 摘要 随机微分方程是随机分析上一个十分活跃的领域，许多的数学家都对此 很感兴趣。在随机系统的控制和滤波理论中，随机微分方程是不可缺少的工 具，著名的 Kalman-Bucy 滤波公式就是一个典型的例子。工程结构分析中常 常考虑随机载荷:风力，海浪，地震等等，其模型均可归结为随机微分方 程，因此根据实际情况来建立数学模型考虑到随机因素的影响是很必要的。 微分方程理论研究的一个基本问题是研究方程解的性态，因此对随机微分方 程解的研究也引起了很多数学家的兴趣。特别是保证方程解的存在唯一性的 条件不断的得到改进。 本文主要研究了带有随机系数的随机微分方程解的存在唯一性与解过程 的马尔可夫性质。首先给出了几个具体的带有随机系数的随机微分方程，并 且利用 Ito? 公式给出了方程显式解的表达式，然后建立了带有随机系数的随 机微分方程解的存在唯一性定理，分步的给出了定理的证明过程。带有随机 系数的随机微分方程指随机微分方程的系数函数显式的依赖于概率空间的某 一个随机变量 ω 而不是仅仅通过解过程本身依赖于概率空间的随机变量 ω ， 而且这里的随机变量 ω 不认为是使得随机微分方程区别于其他随机方程的一 个参数。 随机微分方程的解过程是一马尔可夫过程，解的这一性质在实际应用中 有很重要的意义，马尔可夫过程是很重要的一类随机过程。本文在证明了解 的存在唯一性的基础上，证明了带有随机系数的纯量 Ito? 型随机微分方程解 过程的马尔可夫性质。 关键词 随机微分方程:随机系数:存在唯一性:马尔可夫性质 – – II – Abstract Stochastic differential equation (short for SDE) is a very active field in stochastic analysis, and many mathematicians have devoted their interests to it. In the field of random control and filter theory, SDE is an essential tool, the well known Kalman- Bucy filter formula is a typical example. Engineering structures analysis often con- sider the random load: wind, waves, earthquakes, etc, and its model can be summed up as SDE, so it is necessary to take into account the impact of random factors according to the actual situation when creating the mathematical model. One of the fundamental question in the theoretical study of differential equation is to study the behavior of the solution of the equation, so the study of the solution of differential equation was also attracted the interest of a lot of mathematicians. In particular the conditions which guaran