DSP-离散傅里叶变换(DFT)复习课程.pptVIP

§3.2 离散傅立叶变换（DFT）的基本性质 通过计算一个N点DFT， 可得到两个不同实序列的N点DFT。 设：x1(n)和x2(n)为两个实序列， 构成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) ……………对x(n)进行DFT 得到: X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k) ? Xep(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)] Xop(k)=DFT[jx2(n)]=1/2[X(k)-X*(N-k)] 所以: X1(k)=DFT[x1(n)]=1/2[X(k)+X*(N-k)] X2(k)=DFT[x2(n)]=－j1/2[X(k)-X*(N-k)] 3.3 频率域采样 时域采样定理 在一定条件下，时域离散采样信号可以恢复出原来的连续信号； 问题 在频域进行离散采样，得到的离散采样值能否恢复出原来的信号(或原频域函数)。条件是什么？内插公式？ 3.3 频率域采样 设任意序列x(n)的Z变换为： 设：X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在FT)。 在单位圆上对X(z)等N点间隔采样，得到： 序列x(n)的FT在区间[0, 2?]上的N点等间隔采样 k=0 k=2 k=1 k=3 k=N-1 设离散序列x(k)是长度为N的有限长序列xN(n)的DFT，即 问题： xN(n)与原序列x(n)之间是怎样的关系？ xN(n)=IDFT[X(k)]， 0≤n≤N-1 3.3 频率域采样 DFT与DFS的关系: X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列 的离散傅里叶级数系数 的主值序列， 即: X(n) ~ X((k))N=DFS[ ] X(n) ~ X(n) ~ 为整数 其它m 因为： 3.3 频率域采样 由上面推导可得： 结论： X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT，为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。 频域采样定理：假设 x(n)的长度为M，频域采样点数为N 若 N ? M， 则xN(n)=IDFT[X(k)]=x(n) 时域无混叠 若 NM ，则xN(n)=IDFT[X(k)]≠x(n) 产生时域混叠 故频率抽样(不失真)条件为: N? M r =－ ∞ ∞ =x((n)) N RN(n) 3.3 频率域采样 [例]：已知x(n)=R4(n)，X(ejw)=FT[x(n)]，对X(ejw) 在区间[0,2?]进行6点的等间隔采样，求：X6(k)，k=0,1,..5 及相应的x6(n)=IDFT[X6(k)]，n=0,1,..5 。 解： 0 3 n 1 ? ? ? ? k=0 k=2 k=1 k=3 k=4 k=5 0 1 2 3 4 5 ? 4.00 ? ? ? ? ? ? 1.73 1.00 K= X(k)= 0 -j1.73 4.00 0 1.00 j1.73 1.00 1 3 2 4 5 n=0 3.3 频率域采样 直接由频域采样定理得: 2, 对X(ejw)在一个周期内进行3点采样,求 及相应的x3(n)=IDFT[X3(k)]，n=0、1、2 。 （时域无混叠） ｛ n 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 -6 ? ? ? ? ? ? -3 3 9 3.3 频率域采样 解： 直接由频域采样定义得 时域混叠 0 2 -6 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 6 9 2 1 -3 用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数 设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔采样N点，N≥M， 则有: 得到N个采样点 代入X(z)的表达式 令： 则： 内插函数 内插公式 3.3 频率域采样 当z=ejω时，上面两式成为x(n)的傅里叶变换X(ejω)的内插函数和内插公式， 即： 进一步化简可得： X(ejw)在每个采样点上的函数值等于原始采样点值X(k) ,而采样点间的函数值是由N个内插函数 按采样值X(k)的加