2.5 埃尔米特插值-课件.pptVIP

* 下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）： * 附：样条插值程序 n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=interp1(x0, y0, x, ’spline’); plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’, x, y1, ’r’) gtext(‘Spline’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’) title(‘Spline’) 注：interp1(x0, y0, x, ’spline’)为Matlab中现成的样条插值程序. * 也可以将三种插值结果画在一起： * 2.7.3 误差界与收敛性 定理4 设 为满足第一种或第二 则有估计式 （7.17） 其中 种边界条件（7.3）或（7.4）的三次样条函数， 令 * 这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差 估计. 还说明了当 时， 及其一阶导数 和 二阶导数 均分别一致收敛于 ， 及 * 现在证明 , 这里 是函数 在区间 上的连续模，即对任意 两点 ，只要 就有 考虑 * 称 为 在 上的连续模， 当 时， 就有 由前式可知，当 时有 因此，只要 ，就有 在 上一致成立， 故 在 上一致收敛到 . * 下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）： * 附：分段线性插值程序 n=11; m=61; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=interp1(x0, y0, x); plot(x, z, ’r’, x, y, ’k:’, x, y1, ’r’) gtext(‘Piece. –linear.’), gtext(‘y=1/(1+x^2)’) title(‘Piecewise Linear’) 注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序. * 2.6.3 分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点 上除已知函数值 外还给出导数值 插值函数 ， 在每个小区间 上是三次多项式. 这样就可构造一个导数连续的分段 满足条件 * 根据两点三次埃尔米特插值插值多项式（5.10）， 在区间 上的表达式为 (6.5) * 若在整个区间 上定义一组分段三次插值基函数 及 ， 则 可表示为 (6.6) 其中 ， 分别表示为 (6.7) * (6.8) 由于 ， 的局部非零性质， 当 时， 只有 不为零， 于是 可表示为 (6.9) * (6.10) 再研究 的收敛性. (6.11) 此外，当 是分段三次多项式时， 的插值多 项式 就是它本身. 例如，当 时， 由 及 的表达式，直接得估计式 所以就有 由于 * 当 时就得 (6.12) 由（6.9）--（6.12），当 时还有 这里 且依赖于 . * 因此对 成立 (6.13) 这表明用 逼近 时，它的界只依赖 ，而与 无关. 因此，当 时 一致成立. 设 则当 时， 在 上一致收敛于 . 从而得到： 定理3 * 2.7 三次样条插值 * 2.7.1 三次样条函数 上是三次多项式，其中 是给定节点， 若函数 且在每个小区间 则称 是节点 上的三次样条函数. 若在节点 上给定函数值