罗素类型论的研究_000002.docVIP

罗素类型论的研究_000002 　　摘要：类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造的一个重要理论，它以恶性循环原则为前提，其核心思想是不把类当实体看，其总体思想是任一函项必定属于一定的类型和阶。类型论提供了一种对悖论的统一的解决办法，其排除悖论的实质是把引起悖论的表达式归于“无意义”。类型论本身并不完善，引来了争论，争论的焦点首先是可化归性公理，其次是恶性循环原则，引起争论的实质是在类的实在性问题上实在论和唯名论的对立。类型论尽管在总体上不那么令人满意，但它给逻辑和哲学都带了重大的影响，这种影响是积极的。 　　关键词：罗素；类型论；类 　　中图分类号：B561．54 　　文献标识码：A 　　文章编号：1007―905X(2005)03-0096-05 　　 　　二、争论与分析 　　 　　(一)争论 　　类型论解决了悖论，但并没有让逻辑学家们和数学家们感到满意，有人评价说“它是为阻止悖论的发生，任意地临时凑合而成的设计”。从逻辑学家们对类型论的评价来看，他们的不满主要表现在两个方面：首先是可化归性公理，其次是恶性循环原则。 　　可化归性公理是罗素为了解决类型论本身所带来的困难而引进来的，逻辑学家们(连同罗素本人)都把它看做一条“人为的假定”，因为它并不像一般的逻辑公理那样自明或“必然真”。罗素在写作《数学原理》的时候就意识到可化归性公理是他的系统的一个弱点，但是，如果没有这个公理，很多数学定理就不能从系统中演绎出来，逻辑主义的论题也将无法完成。罗素在《数学原理》第1版的导论中陈述了接受可化归性公理的理由，他认为，由可化归性公理所容许的推理和由该公理所推演出来的有效的结果为接受该公理提供了很强的“归纳证据”，这些证据使得可化归性公理几乎是无可怀疑的。罗素后来在《数理哲学导论》中又提到可化归性公理是“莱布尼茨的‘不可辨别的同一’的普遍形式”。我们可以认为，这是接受可化归性公理最强的证据。不可辨别的同一性原理通常是说，x=y仅当任何使x成立的谓词(或函项)使y也成立(该原理用符号表示是“(x=y)=(v　)(　x一　y)”)。罗素在《数学原理》中给出了“同一性”的定义：“(x=y)=(v中)(　!x一中!y)”(其中的　是直谓函项)，这个定义是说，当所有被x满足的直谓函项也被y满足时，x和y就是同一的。罗素的定义所隐含的一个意思是，如果中不是直谓函项，即使 x真而 y假，x和y还是同一的。这样，罗素的“同一性”比莱布尼茨的“同一性”就要宽松。可化归性公理的实际作用是要对这种宽松的“同一性”提出限制，即把它限制到更为严格的莱布尼茨的“同一性”。(因为根据可化归性公理，上述罗素的“同一性”的定义所隐含的那个意思就不会成立。)这就是说，如果我们可以认可罗素关于同一性的定义，那么我们就可以认可罗素的可化归性公理。 　　尽管可化归性公理有很强的支持证据，逻辑学家们还是不满意它“人为的假定”色彩。同时，逻辑学家们普遍认为，可化归性公理实际上是取消了类型内部的函项分阶。因为，根据可化归性公理，所有的非直谓函项都可以用某个与它等价的直谓函项来替代，这样，直谓函项实际上就可以看做是类型的标志，类型的划分将是：个体、个体的直谓函项、直谓函项的直谓函项，等等。这样的类型的划分和简单类型论没有本质上的差别，这就是说，可化归性公理实际上是把分支类型论变相地简化成了简单类型论。由于有些悖论是靠函项的分阶来解决的，那么引入可化归性公理后，人们会问：悖论会不会重现? 　　1921年，波兰逻辑学家崔斯泰克(L．Chwistek)首先提出废除可化归性公理，取消类型论的分支形态而保留它的简单形态。1925年，罗素在为《数学原理》第2版所写的一篇新的导论中说：“显然需要改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯粹是实用的理由：它导致所期望的结果，而无其他结果。它显然不是我们能满意的那类公理。但是，关于这个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂?崔斯泰克博士毅然把这个公理废除而不采取任何替代的东西，从他的研究来看，很明显，他的这种办法使我们不得不牺牲大量普通数学。”罗素对崔斯泰克断然废除可化归性公理并取消分支类型论的做法表示不满，他本人在新导论中采用了维特根斯坦的“外延性原理”(这个原理是说，命题的函项是真值函项，包含一个命题函项的任何陈述的真假有赖于该函项的外延，即使该函项为真的取值范围)，目的是为了尽可能减少可化归性公理的使用。但是，罗素并不完全相信外延性原理是正确的(其主要之点在于他不相信“A相信P”这种形式的命题能按维特根斯坦的原理处理)，他对这种状况感到失望，没有找到摆脱困境的出路。 　　《数学原理》第2版刚出不久，罗素的学生莱姆塞(F．P．Ramsey)提出了对类型论的改进意见。莱姆塞的意见是要简化分支类型论，保留其中的简单类型论，而废