对中职学生三角函数错误类型的分析-教育专业论文.docxVIP

第一章 第一章 问题的提出 对中职学生三角函数错误类型的研究 PAGE PAGE 10 PAGE PAGE 13 温度的变化、潮汐现象、生命节律等。人们利用三角函数构造刻画那些呈现周期 变化的客观现象的数学表达式。没有三角函数就很难描述这类周期变化的运动， 无法建立周期性运动的数学模型。同时，三角函数的周期性简洁、直观，它的学 习对认识周期函数有着重要的示范作用。 从三角函数发展历史来看三角函数发源于三角形边角关系的研究，以三角比 的形式呈现在研究的初期，后来受到函数思想的渗透，从而引发任意角的三角函 数的研究。从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，应该说是认识上的一次大 的飞跃。这一飞跃由数学大师欧拉引入直角坐标系完成了，这就是欧托在其名著 《无穷小分析引论》中提出的三角函数的定义，这一定义一直沿用至今。为了方 便学生学习，有人把角的动径 r，取作单位长度，即 r=1，于是出现 r 单位圆，三 角函数以圆函数的面目出现。这就是目前多数国家教材所采用的定义。 从三角函数概念的构造方面来看，三角函数的最初形式有其直观的几何背景， 同时又有丰富的代数结构。它是数形结合的桥梁。它的许多重要的几何以及代数 性质体现在一系列优美的恒等式之中。这也使三角函数具有很好的代数计算方面 的优点。例如三角函数的出现使平面几何的研究从定性向定量深化。三角形中“两 边之和大于第三边”，“大边对大角，小边对小角”，都是定性的，有了正弦定理和 余弦定理就可以精确地度量。在近代几何中有大量新定理作了定量的描述。例如 欧拉曾出色地应用三角工具证明了三角形外接圆的半径与内切圆的半径之比不小 于 2”，又如“拿破仑三角形”，“莫雷(Morley)定理”等不借助三角工具是难以证明的。 这些新定理在欧几里得时代是不会出现的。 三角函数的概念与向量的正交分解的交汇，使向量的运算化归为实数的运算， 并实现了坐标化，促成了向量、坐标、复数三位一体，促成了极坐标与直角坐标 的互化。这正足三角函数数形结合功能的体现。特别值得指出的是，一维向量、 二维向量、三维向量的基本定理转化为直线坐标系、平面直角坐标系、空间直角 坐标系的基本定理，它们即解析几何发明的本源之一，这一点对提高解析化(坐标 化)的能力有积极作用。 对于三角函数 sinx 与 x，当 x 无限变小时，直观上两者越来越接近：sinx≈x， 由此可以猜想 lim sin x = 1 。当然可以利用两边夹的方法加以证明。这一极限恰恰 x→0 x 是研究 sinx 的导数的基础，它与另一重要极限 lim(1 + 1 ) x = e 同为微积分的基础。 x→∞ x 对中职学生三角函数错误类型的研究 第一章 问题的提出 这也是三角函数成为中学数学核心地位[1]的依据之一。 1.1.3 中职学生学习三角函数的现状 学生普遍感觉学习三角函数函数的难度较大。造成困难的有两原因2：一是课 程教材方面原因；二是教学实施方面的原因。 以现行中职和高中数学教材为例，其课程内容的安排大体如下：任意角的概 念；弧度制；任意角的三角函数的概念；同角三角函数的基本关系；诱导公式、 两角和与差的三角函数、二倍角的二角函数；三角函数的图像和性质以及利用正 弦定理、余弦定理；解三角形等。有研究表明中职三角函数一章的课程难度要大 于普高的课程难度，关键是中职课程广度大，课时短造成的。 三角函数的学习要跨越初高中两个数学学习阶段。在初中阶段，是通过解直 角三角形问题引入三角函数的。其几何意义相当明显，几乎不存在认知上的困难。 因为这个阶段侧重的是三角函数值作为不变量在处理几何问题中的作用，不强调 它的函数特征。在高中阶段再次涉及到三角函数时，则完全是从函数意义上考虑 其概念及重要性质了。这无疑对学生的认知结构来说是一次调整。 多年来关于三角函数教学内容的展开方式及讨论之所以处于现在这样一个状 况，主要是没有注重三角函数形成过程中数学思想的连贯性的结果。 从认知角度考虑，我们认为首先应当解决的是锐角三角函数作为几何，其向 函数概念转移所遇到的观念转变方面的问题，然后再考虑概念延拓，得到任意角 三角函数概念的问题。期间还要考虑自变量从角度制变为弧度制的原因，余下的 才是三角函数本身所引出来的那些基本性质。 1.2 课题研究的目的与待答问题 学生在学习中出现错误是学习活动的必然现象，错误的产生必有其内在的原 因。因此对误的辨别、剖析和更正、在失败中吸取经验和教训，也应该成为教育 和学习过程中一个不忽视的、甚至是不可替代的方面[3]。本课题研究目的是了解中 职学生在三角函数方面可能存在的错误及原因，有助于教师制定恰当的教学策略 和合理安排教学时间，进而为教师的有效教学提供参考依据。同时，为教材及教 参中三角函数部分今后的修订工作提供借鉴，也为