2017全国初中数学联赛初二卷及详解.docVIP

2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷 第一试 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.81 3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A. B. C. D. 6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（ ）. A.56 B.58 C.60 D.62 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7.使得等式成立的实数a的值为________. 8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________. 9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为________. 10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 第二试 一、（本题满分 20 分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值. 二、（本题满分 25 分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD. 三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值. 2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案 第一试 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 答案：B 对应讲次： 所属知识点：方程 思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程. 解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以. 2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.81答案：C 对应讲次： 所属知识点：方程 思路：可以想到换元法. 解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，， ∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100. 则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100. 3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1 答案：B 对应讲次： 所属知识点：数论 思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2. 若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组. 若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4). 4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（ ）. A.424 B.430