数列大题专题训练1(老师版).docVIP

试卷第 =page 17 17页，总 =sectionpages 18 18页 试卷第 =page 18 18页，总 =sectionpages 18 18页 数列大题专题训练1 1．已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求满足方程的值. 【解析】 试题分析：（1）由与关系求数列的通项公式时，注意分类讨论：当时，；当时，，得到递推关系，再根据等比数列定义确定公比，由通项公式求通项 （2）先求数列前项和，再代入求得，因为，从而根据裂项相消法求和，解得值 试题解析：（1）当时，， 当时，，， ∴，即 ∴. （2），∴，， ∴， 即，解得. 考点：由与关系求数列的通项公式，裂项相消法求和 【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,anan＋1)))(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如eq \f(1,（n－1）（n＋1）)(n≥2)或eq \f(1,n（n＋2）). 2．已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且,成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若数列满足为数列前项和，若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 试题分析：（1）由题意可知: ；（2）由 ，再由错位相减法求得, 为递增数列当时，．又原命题可转化的最大值为． 试题解析： （1）由题意可知:, 即,于是． （2）, , ① ,② ①- ②得:,, 恒成立，只需, 为递增数列，当时，的最大值为． 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列的前项和；4、数列与不等式． 【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．第二小题首先由 再由错位相减法求得为递增数列当时，．再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为． 3．已知数列中，，其前项和满足，其中． （1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）设，为数列的前项和． ①求的表达式； ②求使的的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②，且． 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用错位相减法推证；（2）借助题设运用函数的单调性探求． 试题解析： （1）由已知，，即， ，∴数列是以为首项，公差为的等差数列，∴． （2）∵，∴， ，① ，② ①-②得：， ∴代入不等式得，即， 设，则， ∴在上单调递减， ∵， ∴当时，，当时，， 所以的取值范围为，且． 考点：等差数列等比数列及函数的单调性等有关知识的综合运用． 4．为等差数列的前项和，且，，记．其中表示不超过的最大整数，如，． （1）求； （2）求数列的前1000项和． 【答案】（1），， ；（2）1893． 【解析】 试题分析：（1）先求公差、通项，再根据已知条件求；（2）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1000项和． 试题解析：（1）为等差数列的前项和，且，，． 可得，则公差， ， ，则， ， ． （2）由（1）可知：，， ，． 数列的前1000项和为：． 考点：1、新定义问题；2、数列求和． 【技巧点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点． 5．已知数列的前项和为，且（），数列满足（）. （1）求，； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），，；（2）,． 【解析】 试题分析：（1）由可得，当时，可求，当时，由可求通项进而可求；（2）由（1）知，，利用乘公比错位相减法求解数列的和. 试题解析：（1）由，得当时，； 当时，， 所以，. 由，得，. （2）由（1）知，， 所以 ， 所以. 故, 考点：等差数列与等比数列的通项公式；数列求和. 6．已知等比数列的公比，且成等差数列，数列满足：． （1）求数列和的通项公式； （2）若恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 试题分析：（1）数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得，再将换为，两式相减可得；（2）若恒成立，即为的最大值，由作差，判定函数的单调性，即可得到最大值，进而得到的最小值． 试题解析：（1）因为等比数列满足：成等差数列， 所以：，即， 所以：，