相似三角形的特殊模型--一线三等角.docVIP

PAGE PAGE 5 相似三角形的特殊模型 ―――“一线三等角”模型的综合题 一线三等角型基本图形 （图2）（图1） （图2） （图1） 一、知识梳理 （1）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； （2）如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； (3) 如图2，若 AB＝AC，∠ B＝∠EDF, BD=CD, 连接DF，那么一定存在的相似三角形有 . 二、例题解析 例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC边上任意一点，AB边上有一点E，AC边上有一点F，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=,求CF的长. 练习 1.已知△ABC中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D是BC边上任意一点，AB边上有一点E，AC边上有一点F，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF的长 2.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°. （1）求证：△BDE∽△CFD ； （2）当BD=，FC=1时，求BE . 例2.在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ . 练习 在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F. (1)当点D是边AB的中点时，求证：； (2)当，求的值. 例3.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE∽△DFE. 练习 在边长为4的等边中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上（点D不与点、点重合），且保持,连接EF. (1)已知BE=1,DF=2.求DE的值； (2)求∠BED=∠DEF. 例4. 如图，已知边长为3的等边三角形ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边三角形EFG，直线EG与FG分别交直线AC于点M、N， （1）写出图中与相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设BE=x,MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 练习 如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上， 且． (1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由． 三、巩固提高 1.如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积. 2.如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F． （1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长． 3.如图，中，，，点在边上，且，以 点为顶点作，分别交边于点，交射线于点． （1）当时，求的长； （2）当以点