变角与变式——三角函数的永恒主题.DOCVIP

- PAGE 1 - “变角”与“变式”——三角函数的永恒主题 姚圣海 三角函数是高中数学的重要内容，是高考考查的重点、热点，主要考查同角三角关系式及诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数的化简求值、三角形中的三角函数、三角函数的最值及综合应用等问题．纵观近年高考的三角函数题型，其解决方法主要是通过“变角”和“变式”两种手段，即利用和、差、倍角公式和诱导公式进行化简后再归纳处理，可以说“变角”与“变式”是三角函数解题的永恒主题．下面通过具体例子加以说明． 1．公式——“变角”、“变式”的桥梁 在高考命题中，角的概念的考查多结合三角函数的基础知识，涉及的知识点较多，不过比较简单．对求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、三角函数的诱导公式在求三角函数值时的应用，考察利用三角公式进行恒等变形的技能及基本运算能力． 【例1】 化简＝ ． 解 又 ． 说明 “变式”的目的是创造角的环境，达到求解目的．本题首先利用降幂公式“变式”，使分子、分母中的两角“互余”，再利用两角关系“变角”，化简至最简形式后求值． 【例2】 若，则等于 ． 解 ， ． 说明 “变角”的目的是“变式”．此类题型，不应把条件与结论中的式子展开解题，一般来说，应把条件与结论中的角进行比较、对照，找到联系，利用三角函数的诱导公式，采用“变角”思想创造出“变式”的基础． 【例3】 已知，则的值为 ． 解 == 说明 观察题干中的角与结论中的角的关系，利用“变角”思想解题，会大大简化本题的运算难度． 【例4】（2010·重庆·文15）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线,各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在上）且半径相等，设第段弧所对的圆心角为，则=___． 解 设三个圆的圆心分别为，连接 则 又， ． =． 说明 本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，通过“变式”、“变角”，将已知与求解合理转化，从而达到求解目的． 【例5】已知，且，求的值． 解 又，， 原式 说明 运用角之间的关系，从整体上进行沟通，简化了运算过程，此为“变角”．当然，也可以将条件式和目标式都用和表示：由条件，目标式= ，将条件式、结论式分别平方后运用，与的关系，借助实现过渡得出答案，此为“变式”． 【例6】证明： 解 左边= = ====右边 说明 变换式子时，注意先变换角的关系，化简角为单角，如，为“变式”创造条件．类似的“变角”公式还有，，，等等． 2． 性质——“变角”、“变式”的目的 三角函数的图像和性质是高考重点考查的对象．主要考查三角函数图像的变换、读图和识图以及图像的运用，周期性、奇偶性、对称性等内容． 【例7】 函数在区间上的最小值为_ ． 解 ， 又，，． 最小值为1． 说明 利用辅助角公式把函数解析式“变式”为形式后再研究性质，要注意给定的自变量的范围． 【例8】函数的值域是___________． 解 由得： 即值域是 说明 善于运用反控的方法，“变式”后利用辅助角公式“变角”，引入角，通过三角函数的有界性构造关于的不等式（组），以探求函数的值域． 【例9】 已知函数，则的最小正周期是______． 解 ． ． 说明 利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式等“变角”及“变式”，将函数解析式化简成形式，再根据周期得出结论． 【例10】 已知函数，．(其中 （1）求函数的值域； （2）若对任意的，函数的图像与有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调区间． 解 （1） =． 由，得． 可知函数的值域为． （2）由题设条件及三角函数图像和性质，可知的周期为， 又由，得，即得． 于是有，再由， 解得． 所以的单调增区间为． 说明 利用两角和与差的正弦公式、降幂公式及辅助角公式对解析式“变角”、“变式”，化简为形式后研究函数性质，包括研究函数的值域、周期和单调区间．此类题型是高考的重点考查内容，解决问题的关键是熟练三角公式，能够对给出的复杂式子“变角”、“变式”． 3．应用——“变角”、“变式”的实践 高考试题中，关于三角函数的综合应用，主要有两种类型：一是自身的综合，即将三角公式、图像和性质结合，或与解三角形结合，化简求值或求角；二是三角函数与其他函数，如一元二次函数、指数函数、对数函数相结合，产生以三角函数为主的综合问题． 【例11】（2010·江苏·13）在锐角中，角的对边分别为， ，则的值是_______． 解 化简得， 又 = ==4． 说明 三角函数与解三