《高中数学竞赛》数列模板.docVIP

PAGE PAGE 13 竞赛辅导 数列(等差数列与等比数列) 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 　　 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 　 　为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 　　一、 等差数列 　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 等差数列{an}的通项公式为： 前n项和公式为： 　　从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列{ }中，等差中项： 且任意两项的关系为： 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出： 若 　　　　 　　二、 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{an}的通项公式是： 　　　 前项和公式是： 　　 　　 在等比数列中，等比中项： 　　 　　 且任意两项的关系为 如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出： 　　　 　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则{}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。 　　数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 　　三、 范例 设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n， 求证： 　 　证明：设等比数列{}的首项为，公比为q，则 　　　 　 　 说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积， 即：a1+k·an-k=a1·an 对于等差数列，同样有：在等差数列{ }中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。 即：a1+k+an-k=a1+an 例2．在等差数列{}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= 　　 　A.20 B.22 C.24 D28 　　 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得 5a8=120，a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。 　　故选C 例3．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( ) 　　　A.a1+a101＞0 B. a2+a100＜0 C.a3+a99=0 D.a51=51 　 　[2000年北京春季高考理工类第(13)题] 解：显然，a1+a2+a3+…+a101 例4．设Sn为等差数列的前项之各，S9=18，，Sn=336，则为( ) 　　 　A.16 B.21 C.9 D8 例5．设等差数列{}满足，且＞0，为其前项之和，则 中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题) 　　　　(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 　　所以:S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值 例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) 　 　(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 　　 [1997年全国高中