2005全国高中数学联赛试题及答案[1]模板.docVIP

PAGE 2005年高中数学联赛试卷（一） 一、选择题 1. 使关于x的不等式 EQ 有解的实数k的最大值是（ ） A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值（ ） A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD－ABCD为正方体，任作平面α与对角线AC垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（ ） A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程表示的曲线是（ ） A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 6. 记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 将多项式表示为关于y的多项式 ，且，则=__________。 8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_____________。 9. 设α、β、γ满足，若对任意，成立，则=_____。 10. 如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________。 11. 正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。 三、解答题 13. 数列{an}满足a0=1，，，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。 14. 将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。 15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。 2005年全国高中数学联赛试卷（二） 一、（本题满分50分） 如图，在△ABC中，设ABAC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。 二、（本题满分50分） 设正数a、b、c、x、y、z满足 求函数的最小值. 三、（本题满分50分） 对每个正整数n，定义函数 （其中[x]表示不超过x的最大整数， 试求：的值. 2005年全国高中数学联赛试卷（一） 参考答案及评分标准 说明： 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 解：令则 的最大值为。选D。 2．空间四点A、B、C、D满足则的取值（ ） A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 解：注意到由于则= 即只有一个值得0，故选A。 3．内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 解：如图，连，则 4．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ） A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，为定值 C．S与均为定值 D．S与均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三