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预赛 预赛试题集锦（2014） 高中竞赛 PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 思维的发掘 能力的飞跃 预赛 预赛试题集锦（2014） 高中竞赛 PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 思维的发掘 能力的飞跃 2013年全国高中数学联赛贵州省预赛 一．填空题（每小题8分，共80分） 已知集合，，且，则实数的取值范围是_______． 已知 QUOTE 是 QUOTE 的外接圆，，则_______． 内接于单位圆，三个 QUOTE 内角的平分线延长后分别交此圆于 QUOTE ，则_______． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______． 已知等差数列的前n项和为 QUOTE ，已知，则的最小值为_______． 定义函数 QUOTE 表示中与互质的数的个数，称此函数为欧拉函数，则_______． QUOTE 已知 QUOTE 是边长为2013的正三角形，点分别在边上，且，，，是线段的中点，则_______． QUOTE 设函数 QUOTE 的最大值为，最小值为，则_______． 已知恒成立，则的最小值是_______． 已知函数，则方程（为实常数）的实根最多有_______个． 二．解答题（共70分） （15分）已知数列中：，且．（1）求数列的通项公式； （2） QUOTE 求证：． （15分）已知是个正数，满足．求证：． （20分）如图，已知抛物线 QUOTE ，过点作抛物线的弦．（1）若，证明：直线过定点，并求出定点坐标；（2）假设直线过点，请问是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，求出的个数，若不存在请说明理由． x x y P A O Q （20分）求正整数和，使得 QUOTE ，且． 解答 1、a QUOTE 0提示：集合A={x|0 QUOTE x QUOTE 1}，且满足A QUOTE B，则知B={x|a1}，故a≤0． 2 、14提示： = QUOTE = = = QUOTE ﹙） =14 3、 2 提示： 故原式=2 4、8:27 提示：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作横截面，则 QUOTE =h（2R-h）． QUOTE = rh = r h = QUOTE 所以，所求比为8：27﹒ 5、-49 提示： 由 QUOTE =?0，?得 QUOTE 得 QUOTE =-3?，d= QUOTE ?所以 QUOTE ，则 n 令f（n）=0得n=0或n= QUOTE 所以f（n）在[1,6]上递增，[7, QUOTE )上递减﹒而f（6）=-48，f（7）=-49，故最小值为-49 6、1200 提示：2013=3 QUOTE 11 QUOTE 由欧拉函数性质知 QUOTE ﹙2013﹚=2013 QUOTE ﹙1- QUOTE ﹚ QUOTE ﹙1- QUOTE ﹚=1200 7、671 提示：易证 QUOTE ABD≌ QUOTE ACE，所以 QUOTE APE= QUOTE BAD+ QUOTE ABP= QUOTE CBD+ QUOTE ABP=60 QUOTE ， 又 QUOTE ECD=60 QUOTE ，所以P 、D、 C、 E四点共圆，所以 QUOTE DPC= QUOTE DEC 连接DE，由 QUOTE ECD=60 QUOTE 及CE= QUOTE CD，得DECE 所以CPDP，即 QUOTE DPC是直角三角形 因为M是斜边DC的中点，，所以 PM== QUOTE CD= QUOTE BC= QUOTE 8、提示： f（x）= =g（x）=．所以g（x）为奇函数，由奇函数的性质知所以M+m=2 9、3提示：由对任意x QUOTE R，f（x） QUOTE 0恒成立，得 QUOTE = QUOTE -4ac QUOTE 0．又a QUOTE 0，所以c﹒所以 令t=（t QUOTE ）． 再令s=t-1，则 QUOTE QUOTE 得此时 QUOTE = QUOTE 且s QUOTE ，即s=3 10、6 提示：方程g[f﹙x﹚]-a=0的实根个数转化为函数 y= g[f﹙x﹚]与函数y=a的交点个数问题 （1）当 QUOTE （0，1）时，函数y=a与y=g（x）有两个交点 QUOTE =-4和 QUOTE =-2，而此时方程f（x）=-2和f（x）=-4的实根分别有3个和1个，共4个； （2）当a=