福建省2016年泉州市高中数学竞赛试题模板.docVIP

2016年泉州市高中学科竞赛 数学学科 （总分150分，考试时间：150分） 一、填空题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 1．已知，，则____________． 解析：由，得． 2．若，则____________． 解析：因为，所以， 即，解得． 3．半径为2的球内接长方体的表面积的最大值是__________． 解析：设长方体的长、宽、高分别为，则依题意，得， 即，又该长方体的表面积为， 且，所以． 4．关于的不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围为_________． 解析：根据和的图象关系，易知． 5．若点在所在平面内，点在平面外．若对任意的实数，，则向量与所成的角 ____． 解析：设，则，故平面，所以向量与所成的角为． 6．在空间直角坐标系中，棱长为2的正四面体的顶点分别在轴、轴上移动，则棱的中点到的距离的取值范围为__________． 解析：记中点为，则，恒成立， 而，故． 7．如图，三角形中，，，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为__________． 解析：设∠ABC=，∠ACB=，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 故时，取得最大值． 8．若，，，则的最小值为___________． 解析： ，故的最小值为4． 9．若，，的最大值和最小值分别为，则______． 解析：方法1：记， 则表示过，的直线斜率，为射线上的动点，为圆上的动点，由图可知的最大值和最小值分别为过点作圆的切线斜率，设过点的圆的切线方程，则，即(*）， 则方程（*）的两根为，故． 方法2：记， ，且， 故． 10．函数的图象与轴交点坐标为 ． 解析：， 令，则可知是奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.令得即，故，解得，故函数的图象与轴的交点坐标为． 二、解答题：本大题共4小题，共90分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11．（本小题满分20分） 已知数列满足，()． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，证明： ． 解析：（Ⅰ）由，得，故是首项为3，公差为1的等差数列，所以，故． （Ⅱ）由，得， 所以 ． 又因为是单调递减数列， 所以，所以． 12．（本小题满分20分） 如图，锐角三角形中，，分别是的外心、垂心，直线分别交，于，． （Ⅰ）求证：四点共圆； （Ⅱ）求证：． 证明：（Ⅰ）连结，，，． 因为， 又， 所以四点共圆． （Ⅱ）， 又因为，所以， 所以，故，即． 13．（本小题满分25分） 已知椭圆的右焦点，点，轴，椭圆上的两动点关于原点对称，且的最小值为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过作两条动直线分别交于和，弦的中点分别为．若直线的倾斜角互余，求证：直线过定点． 解析：（Ⅰ）由已知，，设，则有， 得， 所以，所求椭圆的方程为． （Ⅱ）证法一：因为直线的倾斜角互余，所以直线的斜率满足．联立方程组消去， 得， 所以， 把代入，（或由点差法，） 得， 因为，所以把中的替换为， 得， ， 所以直线的方程为 ， 化简可得，直线过定点． 证法二：先猜后证，利用两种极端情形，猜出定点： 时，此时直线为过点的方程； 当时，此时，此时直线的方程为， 联立方程组解得即交点，下证三点共线． 又，， 所以，故直线MN经过定点． 14．（本小题满分25分） 函数，． （Ⅰ）判断函数的零点个数，并给出证明； （Ⅱ）若为函数的零点，证明：对任意的，， ． 解析：（Ⅰ）令，则可换元为， 记，函数与函数的零点相同． 任取，在内单调递增，故． 假设，则， 即，故在内单调递增． ，，，故函数在内有且仅有一个零点， 即函数在内有且仅有一个零点，易得在内有且仅有一个零点． （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 令． 欲证，即证， 只需证：，即证． 而． 设，则， 故在区间单调递减． 所以，当时，取最大值，即． 故原不等式恒成立． 第8页　（共8页）