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------（从动和静的两个角度看三角形中四“心”的向量表示） 平面几何中三角形的四“心”，即三角形的内心，重心，垂心，外心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形的四“心”的向量表示。其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。 从静止角度看三角形中的四“心” 已知O是△ABC所在平面上的一点，若,则O是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：若,则,以为邻边作平行四边形OAC′B,设OC′与AB交于点D,则D为AB的中点，有,得,即C,O,D,C′四点共线，故CD为△ABC的中线，即点O在中线CD上。同理，点O也在中线AE,BF上，所以O是△ABC的重心. 答案C 例2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若,则O是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：若，由,则,, ,得,所以,同理可证,.∴O是△ABC的垂心。 答案.D 例3. 已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：若，∵,则,得∵ 分别是方向上的单位向量，设,则平分∠BAC,.又共线，知AO平分∠BAC.同理BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,从而O是△ABC的内心. 答案B 例4. 已知O是△ABC所在平面上的一点，若,则O是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：若，则则O是△ABC的外心. 答案A 以上关系均为充要条件，并且是三角形的四“心”已确定的向量表示. 从运动角度看三角形中的四“心” 例5已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：上式可化为：由于表示BC边上的中线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心. 答案C 例6. 已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：上式可化为：当 时，由于 表示∠BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 答案B 例7. 已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足, ,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：上式可化为：由于,所以 表示垂直于的向量，即P点在过A且垂直于BC的直线上，故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心. 答案D 例8. 已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：由于过BC的中点，当时，表示垂直于的向量，所以P在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 答案A 例9.已知点P为△ABC内的的一点，且满足,则 解析1：由已知点P为△ABC的内心，且，内切圆半径为，， ，，. 解析2：设,为的重心， 而, 同理,，. 以上关系均为必要条件，向量是“动”的，但是此向量有可能经过三角形的四“心”之一. 上面通过从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，得出了相当优美的结论，使我们对三角形中的四“心”有了新的认识，更好地体会到事物之间辩证的和谐统一. 【附】1：已知O是△ABC所在平面上的一点，若,则O是△ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.旁心. 解析：由，得,即,所以 为△ABC的∠ACB的外角平分线所在直线的方向向量，且共线，所以必过△ABC的旁心.同理也过