人教版A版高中数学修2-2第一章+1.3.2《函数的极值与导数》【练习】（教师版）.docVIP

1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值【答案】　D【解析】　∵y′＝1－eq \f(1,1＋x2)(x2＋1)′＝1－eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f((x－1)2,x2＋1)令y′＝0得x＝1，当x1时，y′0，当x1时，y′0，∴函数无极值，故应选D.2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】　C【解析】　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．3．函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的极值情况是(　　)A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2【答案】　D【解析】　f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.4．下列函数中，x＝0是极值点的是(　　)A．y＝－x3 B．y＝cos2xC．y＝tanx－x D．y＝eq \f(1,x)【答案】　B【解析】　y＝cos2x＝eq \f(1＋cos2x,2)，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．5．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】　A【解析】　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．6．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)A．极大值为eq \f(4,27)，极小值为0B．极大值为0，极小值为eq \f(4,27)C．极大值为0，极小值为－eq \f(4,27)D．极大值为－eq \f(4,27)，极小值为0【答案】　A【解析】　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,3)或x＝1，极大值feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq \f(4,27)，极小值f(1)＝0.二、填空题7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.【答案】　－3 －9【解析】　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有8．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．【答案】　(－2,2)【解析】　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－2a2时恰有三个不同的公共点．三、解答题9．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．【解析】　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值f(－1)减极小值f(3)增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．【解析】　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f