人教A版必修四平面量共线的坐标表示 学案.docxVIP

人教A版必修四 平面向量共线的坐标表示 学案[学习目标]　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．[知识链接]1．向量共线定理是什么？答　a与非零向量b为共线向量，当且仅当有唯一一个实数λ使得a＝λb.2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？答　当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．[预习导引]1．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).即两向量的相应坐标成比例．2．若eq \o(P1P,\s\up6(→))＝λeq \o(PP2,\s\up6(→))，则P与P1、P2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈(－∞，－1)时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈(－1,0)时，P位于线段P1P2的反向延长线上．要点一　向量共线的判定例1　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解　eq \o(AB,\s\up6(→))＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．eq \o(CD,\s\up6(→))＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×40，∴eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))共线且方向相反．方法二　∵eq \o(CD,\s\up6(→))＝－2eq \o(AB,\s\up6(→))，∴eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))共线且方向相反．规律方法　此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪演练1　已知A、B、C三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))，求证：eq \o(EF,\s\up6(→))∥eq \o(AB,\s\up6(→)).证明　设点E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．依题意有，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－2,3)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)．∵eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))，∴(x1＋1，y1)＝eq \f(1,3)(2,2)，∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))).同理点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).∴eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又eq \f(8,3)×(－1)－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0，∴eq \o(EF,\s\up6(→))∥eq \o(AB,\s\up6(→)).要点二　利用向量共线求参数例2　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解　方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq \f(1,3).∴当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)＝－eq \f(1,3)a＋b.∵λ＝－eq \f(1,3)0，∴ka＋b与a－3