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人教A版必修四 弧度制 学案[学习目标]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答　规定周角的eq \f(1,360)做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关． 2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答　l＝eq \f(nπR,180)，S＝eq \f(nπR2,360).[预习导引]1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0.(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r).2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝eq \f(π,180)rad≈0.017 45 rad1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq \f(π,180)eq \f(π,6)eq \f(π,4)eq \f(π,3)eq \f(π,2)eq \f(2π,3)eq \f(3π,4)eq \f(5π,6)πeq \f(3π,2)2π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝eq \f(απR,180)l＝α·R扇形的面积S＝eq \f(απR2,360)S＝eq \f(1,2)l·R＝eq \f(1,2)α·R2要点一　角度制与弧度制的换算例1　将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5).解　(1)20°＝eq \f(20π,180)＝eq \f(π,9).(2)－15°＝－eq \f(15,180)π＝－eq \f(π,12).(3)eq \f(7π,12)＝eq \f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq \f(11π,5)＝－eq \f(11,5)×180°＝－396°.规律方法　(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1　(1)把112°30′化成弧度；(2)把－eq \f(5π,12)化成度．解　(1)112°30′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(225,2)))°＝eq \f(225,2)×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,8).(2)－eq \f(5π,12)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.要点二　用弧度制表示终边相同的角例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；　(2)eq \f(23π,6)；　(3)－4.解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋eq \f(5π,3)，是第四象限角．(2)∵eq \f(23π,6)＝2π＋eq \f(11π,6)，∴eq \f(23π,6)与eq \f(11π,6)终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq \f(π,2)＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq \f(3π,5)，β2＝－eq \f(π,3).(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．解　(1)∵180°＝π rad，∴α1＝－570°＝－eq \f(570π,180)＝－eq \f(19π,6)＝－2×2π＋eq \f(5π,