人教A版必修四平面量基本定理 学案.docxVIP

2．3　平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理.3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．[知识链接]1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))，eq \o(EF,\s\up6(→))，eq \o(GH,\s\up6(→))，eq \o(HG,\s\up6(→))，a.答　通过观察，可得：eq \o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up6(→))＝－e1＋4e2，eq \o(EF,\s\up6(→))＝4e1－4e2，eq \o(GH,\s\up6(→))＝－2e1＋5e2，eq \o(HG,\s\up6(→))＝2e1－5e2，a＝－2e1.2．0能不能作为基底？答　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．3．平面向量的基底唯一吗？答　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．[预习导引]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.要点一　用基底表示向量例1　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且eq \o(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b将eq \o(MN,\s\up6(→))、eq \o(NP,\s\up6(→))、eq \o(PM,\s\up6(→))表示出来．解　eq \o(NP,\s\up6(→))＝eq \o(AP,\s\up6(→))－eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(CN,\s\up6(→))－eq \o(CM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \o(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)(a－b)＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，eq \o(PM,\s\up6(→))＝－eq \o(MP,\s\up6(→))＝－(eq \o(MN,\s\up6(→))＋eq \o(NP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)．规律方法　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．跟踪演练1　如图，四边形OADB是以向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b为边的平行四边形．又BM＝eq \f(1,3)BC，CN＝eq \f(1,3)CD，试用a、b表示eq \o(OM,\s\up6(→))，eq \o(ON,\s\up6(→))，eq \o(MN,\s\up6(→)).解　eq \o(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6)(a－b)，∴eq \o(OM