第四节 留数及留数定理.pptVIP

* 第四节 留数与留数定理 一.孤立奇点及其类型 二.留数与留数定理 一、孤立奇点及其类型 定义1 设 在 不解析，而在 的去心邻域 内解析，则称 为 的孤立奇点． 定义2 设 为 的孤立奇点，且在 的去心邻域内洛朗级数展开式有如下三种情况： （1）若没有负幂次项，则称 为 的可去奇点； （2）若关于 的最高次幂项为 ，即 　　　则称 为 的m级极点； （3）若有无穷个 的负幂次项，则称 为 的本性奇点． 例１　已知 ， 展式中没有负幂次项，故 为 的可去奇点． 例２　已知 　　　　　　 ， 展式中 的最高次幂项为 ，故 为 的二级极点． 例３　已知 　　　　　 ， 展式中有无穷多负幂次项，故 为 的本性奇点． 现在研究极点的特征．设 在 内解析，且 是 的 级极点，则在 内， 有洛朗展式 　　　　　 其中 ．于是在 内， 　 　 (13.6) 其中 在 内是解析的函数，且 ．反之，如果 在 内可表示成(13.6)，而 在 内解析且 ，那么不难推出 是 的m级极点， 结论： 是 的m级极点的充要条件是 　　　　　　　　　　 其中 在 解析且 ． 于是有： 例４　判断函数 孤立奇点的类型． 解： 和 为 的孤立奇点．因为 　　　　　　　 其中 在 解析且 ，故 是 的三级极点．类似地， 分别是 的一级极点． 定义3 设 ，其中 在 解析且 ，则称 是 的m级零点． 例如 ，则 和 分别是 的一级与三级零点．由定义3可得 结论：设 在 解析，则 为 的m级零点的充要条件是 　　　　　　 ．(13.7) 例５　问 为 的几级零点？ 解： 因为 ， ， ， 故 是 的三级零点． 零点与极点有如下关系： 定理2 若 是 的m级零点，则 是 的m级极点，反之也成立． 证明： 若 是 的m级零点，则有 　　　　　　 ， 其中 在 解析且 ．由此，当 时， 　　　　　　 　　 其中 在 解析且 ，所以 是 的m级极点． 反之，如果 是 的m级极点，则有 　　　　　　　　　　 这里 在 解析且 ，于是有 ， 其中 也在 解析且 ，由定义3可知 是 的m级零点． 定理2为判断函数的极点及其类型提供了一个较为简便的方法． 例６　函数 有哪些奇点？如果是极点，指出它们为几级极点． 解： 凡是使 的点都是 的奇点，这些奇点是 ，且均为孤立奇点。又由于