高三数学误区：2.2-利用导数理函数的单调性、极值等误区.docVIP

PAGE  2017届高三数学跨越一本线精品 误区二：利用导数处理函数的单调性、极值等误区 导数的引入,为函数的研究与应用提供了有效的工具,把初等函数的学习提高到一个新的层次,正因如此,近年来,对应用导数研究函数性质的考查,已成为高考和各地模拟考试的热点和重点,利用导数研究函数主要体现在如下几个方面：由导数的几何意义求曲线的切线方程,研究函数的单调性,处理函数的极值和最值问题等等.而从实际教学和检测中,有些学生由于对概念的理解不够准确或受到某些知识或方法的负迁移,在解答有关问题时,常会陷入如下几个误区,从而导致对而不会,会而不全.现小结几种常见情形,以供同学们复习参考： 一、 “在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别 利用导数的几何意义处理曲线的切线问题,是考查导数时常见的一类小题（选择题、填空题）,在此类问题中的重点和关键是抓住“切点”,充分利用“切点”的三个作用：一,切点在曲线上；二,切点在切线上；三,切点的横坐标的导数值等于切线的斜率.在此类问题中有一个易错点：“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别,其实质就是已知点是不是一定为切点的区别. 【例1】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切,求a的值． 【易错分析】由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况,容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件,进而不考虑O点为切点的情况． (2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0,y0),则y0＝xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋2x0,且k＝y′|x＝x0＝3xeq \o\al(2,0)－6x0＋2,① 又k＝eq \f(y0,x0)＝xeq \o\al(2,0)－3x0＋2,② 联立①②,得x0＝eq \f(3,2)(x0＝0舍去),所以k＝－eq \f(1,4), 故直线l的方程为y＝－eq \f(1,4)x. 【点评】导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k. (3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＝f?x1?，,y0－y1＝f′?x1??x0－x1?))求解即可． (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢． 【小试牛刀】【2017届安徽百校论坛高三文上学期联考】已知在曲线在点处切线的斜率为1,则实数的值为（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】当时,,,即,得.故选B. 二、误用单调函数的充要条件 利用导数研究函数的单调性,是近年来的高考热点,学生解决此类问题往往根据：设定义在某区间上的函数,如果,那么函数在这个区间内单调递增；如果,那么函数在这个区间内单调递减.但误解了这只是函数在这个区间上单调递增或递减的一个充分条件,而并非必要条件.结合高等数学中的相关定理知：若函数在内可导,则在内严格递增（或递减）的充要条件是：一,对任何,有()；二,在内的任何子区间上不恒等于0,而在高中阶段,主要出现的是有一个或多个（有限个）使的点的情况,像例2这种逆向设置问题,是今后高考命题的一种趋向,它充分体现了高考“能力立意”的思想,对此,在复习中应引起高度重视. 【例2】若在区间上是增函数,则的范围是 .（用区间来表示） 【错解】因为在区间上是增函数,故应有,即,所以的范围是. 【分析】由已知条件在区间上是增函数,结合函数的特征不难想到要利用导数与函数的单调性的关系进行求解,即可转化为：,进而求出：,但到此题目并没有完全结束,要对进行单独考虑,即可发现（）为上的常数函数,不满足题意,方可求解. 【点评】本题主要考查了导数的应用、函数的单调性.一般地,可导函数在上是增（减）函数的充要条件是：对任意的,都有或,且在的任何子区间内都不恒等于零,特别要注意：已知函数的单调性,求参数取值范围时,一定要特别考虑“等号”是否可以取到. 【小试牛刀】已知函数f(x)＝exlnx－aex(a∈R),若f(x)在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a的取值范围． 【解析】f′(x)＝(eq \f(1,x)－a＋lnx)ex, 若f(x)为单调递减函