高三数学问题：1.3-含参数的常逻辑用语问题（含答案）.docVIP

PAGE  2017届高三数学跨越一本线 问题三 含参数的常用逻辑用语问题 通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点．考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者． 一、与充分条件、必要条件有关的参数问题 充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理． 【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合,集合.已知命题,命题,且命题是命题的必要不充分条件,求实数的取值范围. 【分析】先化简给定集合,再利用是的必要不充分条件 解题 【解析】由已知得,. ∵是的必要不充分条件,∴.则有.∴,故的取值范围为. 【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验． 【小试牛刀】设:；:．若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】． 【解析】由得, , 故 由 若是的必要而不充分条件,的必要而不充分条件,即,故所求的取值范围是． 二、与逻辑联接词有关的参数问题 逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围． 【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数在区间上单调递增；命题函数的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“”为真命题,“”也为真命题,求实数的取值范围. 【分析】先确定真值相同．再根据,同真时或同假确定实数的取值范围. 【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围 【小试牛刀】已知命题方程表示圆；命题双曲线的离心率,若命题“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围． 【答案】 【解析】若命题为真命题 ,则,即 整理得,解得．若命题为真命题,则,解得 因为命题为假命题,为真命题,所以中一真一假, 若真假,则 ; 若假真,则,所以实数的取值范围为． 三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的． 【例3】若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 【分析】命题“使得”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解． 【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题．所以．故选（C）． 【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理． 【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围. 【答案】或． 【解析】若为真：对,恒成立,设,配方得,∴在上的最小值为,∴,解得,∴为真时：；若为真：,成立,∴成立.设, 易知在上是增函数,∴的最大值为,∴,∴为真时,, ∵”为真,“”为假,∴与一真一假,当真假时,∴,当假真时,∴,综上所述,的取值范围是或. 四、与全称量词、特称量词有关的参数问题 全称量词“”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． 【例3】已知命题：“”,命题：“”． 若命题“且”是真命题,则实数的取值范围为（ ） A．或 B．或 C． D． 【分析】若命题“且”是真命题,则命题都是真命题,首先将命题对应的参数范围求出来,求交集即可． 【点评】命题是恒成立问题,命题是有解问题． 【小试牛刀】已知恒成立,方程表示焦点在轴上的椭圆,若命题“且”为假,求实数的取值范围． 【答案】． 【解析】由题意：若为真,则有对恒成立．取“＝” 若为真,则有,即