高三数学问题2.2-函数中存在性与恒成立问题（含答案）.docVIP

PAGE  2017届高三数学跨越一本线精品 问题二 函数中存在性与恒成立问题 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下： (1)恒成立问题  = 1 \* GB3 ①. ?x∈D,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA；  = 2 \* GB3 ②. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)maxA ；  = 3 \* GB3 ③. ?x∈D,均有f(x) g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0,∴ F(x)min 0；  = 4 \* GB3 ④. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0,∴ F(x) max 0；  = 5 \* GB3 ⑤. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max；  = 6 \* GB3 ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max g(x) min. (2)存在性问题  = 1 \* GB3 ①. ?x0∈D,使得f(x0)A成立,则f(x) max A；  = 2 \* GB3 ②. ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min A；  = 3 \* GB3 ③. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) max 0；  = 4 \* GB3 ④. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g (x),∴ F(x) min 0；  = 5 \* GB3 ⑤. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) min；  = 6 \* GB3 ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) min g(x) max. (3)相等问题 若f(x)的值域分别为A,B,则  = 1 \* GB3 ①. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则；  = 2 \* GB3 ② ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则. (4)恒成立与存在性的综合性问题  = 1 \* GB3 ①?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min g(x) min；  = 2 \* GB3 ②?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) max. 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等. 一、函数性质法 【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)0成立,求实数a的取值范围． 【分析】本题实质是存在性问题 【解析】解法一：f′(x)＝3x2－2ax＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)a))(1≤x≤2), 当eq \f(2,3)a≤1,即a≤eq \f(3,2)时,f′(x)≥0,f(x)在1,2]上为增函数, 故f(x)min＝f(1)＝11－a,所以11－a0,a11,这与a≤eq \f(3,2)矛盾． 当1eq \f(2,3)a2,即eq \f(3,2)a3时,当1≤xeq \f(2,3)a,f′(x)0；当eq \f(2,3)ax≤2,f′(x)0, 所以x＝eq \f(2,3)a时,f(x)取最小值, 因此有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))0,即eq \f(8,27)a3－eq \f(4,9)a3＋10＝－eq \f(4,27)a3＋100,解得a3eq \r(3,\f(5,2)),这与eq \f(3,2)a3矛盾； 当eq \f(2,3)a≥2,即a≥3时,f′(x)≤0,f(x)在1,2]上为减函数,所以f(