微分几何 §2 曲面的第一基本形式.pptVIP

§2 曲面的第一基本形式 2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2 曲面上两方向的交角 2.3 正交曲线族和正交轨线 2.4 曲面域的面积 2.5 等距交换 2.6 保角变换 2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 给出曲面S ： 上的曲线C ： 或 对于曲线C 有 或者 则有 令 则有 设曲线 上两点 ，则弧长为 （*）是关于微分 的一个二次形式，称 为曲面 的第一基本形式，用 表示： 它的系数 称为曲面 的第一类基本量。 对于曲面的特殊参数表示 ，有 则 由（2.19）有 曲面的第一基本形式为 由第一类基本量定义知 又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别 式 因此第一基本量 满足不等式 第一基本形式是正定的。也可有 直接得出。 例1 求球面 的第一基本形式。 例 2 求正螺面的第一基本形式。 2.2曲面上两方向的交角 前面提过曲面 上一点 的切方向 称为曲面上的方向，表示为 给出一方向 就等于给出一对值 ，由于 方向和 的长度无关，所以给出 就能确 定曲面上的一方向。以后用 或 表示曲面上的一方向。 给出曲面上两个方向 和 ，我们 把向量 和 间的交角称为方向 和 间的角。 求方向 和 间的角 。由于 所以 由于 由此得 的表达式 由上式推出曲面上两个方向 和 垂直的 充要条件是 例3 证明旋转面 的坐标网是正交的。 2.3正交曲线族和正交轨线 给出两族曲线 如果他们正交，可以得出 即 或 另外如果给出一族曲线 则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线。 可以其看出正交轨线的微分方程是 即 * * 若以s表示曲面上曲线的弧长,考虑C的弧长有 注：曲面的第一基本形式 是不变量（参数变换下不变） , . ? 解： 解： 特别地有坐标曲线 和 的交角 有表达式 注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0 。 解：