概率论与数理统计第2章随机变量习题库及答案.pptVIP

第二章　随机变量及其分布习 题 课 随机变量 离散型随机变量的分布律 两点分布 二项分布 泊松分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量的概率密度 均匀分布 指数分布 正态分布(或高斯分布) 随机变量的函数的分布 由分布函数的定义又知 F(x) 是分布函数. 与 F(x) 对应的随机变量不是取有限个或可列多个值，故 F(x) 不是离散型的分布函数. 又 故 F(x) 也不是连续的分布函数. 问2.5 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在? 设 问2.6 无记忆性的分布? 对于连续型分布来说，指数分布是唯一的具有无记忆性的。（证明可见 复旦大学《概率论》 人们教育出版社 P.125-126）在可靠性问题中，把 X 理解为某元件的寿命，则无记忆性表示某元件的寿命如果已知大于 5 年，则其寿命再延长 7年的概率与年龄无关。 具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的，那就是几何分布 几何分布是一种等待分布，例如, 在事件 A 发生的概率为 p 的贝努里试验之中，A 首次出现时的等待次数 X 的分布为几何分布. 问2.7 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布? 若两个随机变量 X, Y 满足 P(X=Y)=1 例如，设 X 与 Y 具有相同的分布 X -1 1 P 1/2 1/2 并设 X 与 Y 相互独立，据此可算得 从而 则称 X 与 Y 几乎相等。可以证明：几乎相等的随机变量具有相同的分布，反之都不成立。 所以不几乎相等的随机变量可以有相同的分布。 , 即X与Y不几乎相等。 求随机变量X 其函数g(X)的概率分布 给出随机试验或条件, 求与其有关的随机变量的分布 利用分布计算概率或给出某个概率值求与其有关的未知参数 例2. 1 已知随机变量 X 的概率分布律 [思路] 首先根据概率分布的性质求出常数 a 的值, 然后确定概率分布律的具体形式,最后再计算条件概率. 利用概率分布律的性质 解 例2. 2 因此 X 的分布律为 从而 [思路] 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b, 再用已确定的分布函数来求分布律. 例2. 3 解 从而 X 的分布律为 例2. 4 设X ~(2,σ2), 且 P(2X4)=0.3, 求P(X0). 设X 服从参数为λ的泊松分布，P(X=1)= P(X=2), 求P(0X23). * 第2章 随机变量及其分布 * 第*页 随 机 变 量 离 散 型 随机变量 连 续 型随机变量 分 布 函 数 分 布 律 密 度 函 数 均 匀 分 布 指 数 分 布 正 态 分 布 两 点 分 布 二 项 分 布 泊 松 分 布 随机变量 的函数的 分 布 定 义 知识结构 特征数 随机变量与普通的函数不同 随机变量的取值具有一定的概率规律 设 ? ={?}为某随机现象的样本空间， 称 定义在?上的实值函数 X=X(?) 为随机变量. 用来表示随机现象结果的变量。 随机变量的分类 离散型 随机变量 连续型 非离散型 其它 　　设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为 则称 X 服从(0-1)分布或两点分布. 称这样的分布为二项分布.记为 二项分布 两点分布 (2)说明 (1)定义 　　分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况. 即任一分布函数处处右连续. (3)性质 离散型随机变量的分布函数 (4)重要公式 0.3 0.6 0.1 P 2 1 0 X 注意:随机变量在 a 点处取值的概率为分布函数在 a点的函数值减去在 a 点的左极限。 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型. (1)定义 (2)性质 若X是连续型随机变量 ，{X=a }是不 可能事件, 则有 若 X 为离散型随机变量 连 续 型 离 散 型 (3)注意 在已知连续型随机变量X的密度函数 f(x) 而求分布函数F(x)时，如果 f (x) 是分段函数, 则积分要分段进行计算.这时的 F(x) 是连续函数, 尽管它以分段函数的形式出现. 它的定义域中各子区间的端点, 只要求表达清楚, 属于哪一个区间无关紧要, 也没必要与 f (x) 一致. 已知连续型随机变量X分布函数 F(x) 求 f(x). 如果 F(x) 是分段函数，在其各个子开区间中可直接用初等函数求导公式求导而得到 f(x)。 在分段点上，按导数定义求导时，可能出现不可导的情况。但由于连续型随机变量的密度函数改变若干点的值并不影响其在一个区间上的积分值，故由F(x) 求 f(x) 时,