线性代数厦门出版社答案.docVIP

线性代数答案解答 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： .解（2） （4） 4.计算下列各行列式： 解 (2) =0 (4) = == 7.计算下列各行列式（）： 解 (2)将第一行乘分别加到其余各行，得 再将各列都加到第一列上，得 (3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第 行经次对换换到第2行…，经次行 交换，得 此行列式为范德蒙德行列式 (4) 由此得递推公式： 即 而 得 (6) 第二章　矩阵及其运算 4．计算下列乘积： 解 (2) (4) 13．利用逆矩阵解下列线性方程组: 解　　(1)　方程组可表示为 故 从而有 第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵： 解　 3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样? 解 设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得 到的，中能找到与相同的阶子式，由于， 故而. 解　(1)　 二阶子式． (2) . 二阶子式． (3) 秩为3 三阶子式． 6．求解下列齐次线性方程组: (2)　 解　 (2)　对系数矩阵实施行变换: 故方程组的解为 8．取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解　(1)　,即时方程组有唯一解. (2)　 由 得时,方程组无解. (3)　,由, 得时,方程组有无穷多个解. 11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵： (1)　; 解　（1） 故逆矩阵为 12．(1)　设,求使; 解 (1) 第四章　向量组的线性相关性 1．设, 求及. 解 2．设其中, ,,求 解 由整理得 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示. (2)若有不全为0的数使 成立,则线性相关, 亦线性相关. (3)若只有当全为0时,等式 才能成立,则线性无关, 亦线性无关. (4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解 (1) 设 满足线性相关,但不能由线性表示. (2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关 (3) 由 (仅当) 线性无关 取 取为线性无关组 满足以上条件,但不能说是线性无关的. (4) 与题设矛盾. 4．设,证明向量组 线性相关. 证明 设有使得 则 (1) 若线性相关,则存在不全为零的数, ;;;; 由不全为零,知不全为零,即线性相 关. (2) 若线性无关,则 由知此齐次方程存在非零解 则线性相关. 综合得证. 5．设,且向量组 线性无关,证明向量组线性无关. 证明 设则 因向量组线性无关,故 因为故方程组只有零解 则所以线性无关 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) ; (2) . 解 (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) ， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)　,,; (2)　,,. 解　(1)　线性相关. 由 秩为2,一组最大线性无关组为. (2) 秩为2,最大线性无关组为. 8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能 由它们线性表示,证明线性无关. 证明 维单位向量线性无关 不妨设: 所以　 两边取行列式，得 由 即维向量组所构成矩阵的秩为 故线性无关. 9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一维向量都可由它们线性表示. 证明　　设为一组维单位向量，对于任意维向量 则有即任一维向量都 可由单位向量线性表示. 线性无关，且能由单位向量线性表示，即 故 两边取行列式，得 由 令则 由 即都能由线性表示，因为任一维向量能由单 位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示. 已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组： 可由线性表示，由8题知线性无关. 显然,存在矩阵,使得 , 因此　 由于 所以方程组只有零解.所以线性无关, 证毕. 13．设 问是不是向量空间？为什么？ 证明 集合成为向量空间只需满足条件： 若，则 若，则 是向量空间，因为： 且 故 故 不是向量空间，因为： 故 故当时， 14．试证:由所生成的向量空间就 是. 证明　 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3, 所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间 就是. 15．由所生成的向量空间记作,由 所生成的向量空间记作,试证 . 证