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14.3 1 距离问题
1.点到平面的距离 * * 空间直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系分类 位置 关系 直线a在 平面?内 直线a与平面?相交 直线a与平面?平行 公共点 有无数个公共点 有且仅一个公共点 没有公共点 符号表示 a?? a∩?=A a∥? 图形表示 直线与平面的位置关系分类 注意 1.直线a与平面?相交不能写成“a∩?”,即此时一定要写出交点; 2.“直线a与平面?相交”与“直线a与平面?平行”两种位置关系统称为“直线a不在平面?内”,记为“a??”. 直线和平面垂直 α l P 直线与平面垂直的定义: 如果直线 与平面 内的任意一条直线都 l 垂直,则称直线 l 和平面 互相垂直. 记作: ⊥ l 直线 l 的垂面 垂足 平面 α 的垂线 唯一性: (1) 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直. (不同于过一点作直线与另一条直线垂直 ) (2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 . α 直线与平面垂直的定义: 如果直线 与平面 内的任意一条直线都 l 垂直,则称直线 l 和平面 互相垂直. 记作: ⊥ l 思考: 如果 l⊥ , ,那么 吗? l P 探究1: l 如果直线 与平面 内的一条直线垂直, 则直线 l 和平面 互相垂直? b α 探究2: l 如果直线 与平面 内的两条直线垂直, 则直线 l 和平面 互相垂直? 如果两条直线平行 如果两条直线相交 α 探究3: l 如果直线 与平面 内的两条相交直线 垂直,则直线 l 和平面 互相垂直? α D B A C α D B A C E α D B A C α O n m l α D B A C E 探究3: l 如果直线 与平面 内的两条相交直线 垂直,则直线 l 和平面 互相垂直? 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. O n m l α 线不在多 相交则行 直线与平面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直 已知: 求证: A B C D A1 B1 C1 D1 练习:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)请列举与平面ABCD垂直的直线 ; (2)请列举与直线A1A垂直的平面 ; (3)你还能找出一条与平面D1DBB1垂直的直线吗? 距离问题 A H 从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离 线面垂直 点的射影 点面距离 2.直线到与它平行平面的距离 ? l A` A 一条直线和一个平面平行时,直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 3.两个平行平面的距离 ⑴和两个平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分,叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离。 例1.已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离分别为3cm和5cm,求AB中点到平面的距离. 3 5 A B C A1 B1 D1 C1 例2.正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题 D (1)A到面A1B1CD A B C A1 B1 D1 C1 D (1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1 例2.正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题 例3 如图,已知正三角形 的边长为6cm,点 到 各顶点的距离都是4cm,求点 到这个三角形所在平面的距离。 解:设H为点O在平面ABC内的射影,延长AH,交BC于E,则 即H是△ABC的外心。在△ABC中, 即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm. A B C A1 思考:任意两条异面直线都有公垂线吗? 有多少条公垂线? 已知异面直线AA1和BC, 直线AB与异面直线AA1,BC都垂直相交。 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,公垂线夹在异面直线间的部分,叫做这两条异面直线的公垂线段。 4.异面直线的距离 例4. 如图,已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1,D,E分别是OA,BC的中点,连结DE。 (1)求证:DE是OA和BC的公垂线。 (2)求OA和BC间的距离。 *
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