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关于矩阵特征值与特征向量的求解问题 魏学怀 指导老师:张飞羽 (河西学院数学与应用数学专业2006届06级2班38号， 甘肃张掖 734000) 摘 要 本文给出一种只需对原矩阵作行列互逆变换就可同步求出特征向量的方法,不需要带考虑参数的特征矩阵. 关键词 特征值；特征向量；算法 中图分类号 O151 On solving the matrix eigenvalue and eigenvector problem Wei Xuehuai Instructor: Zhang feiyu （No. 32，Class 1 of 2010Specialty of Mathematics and Applied Mathematics， Department of Mathematics，Hexi University，Zhangye，Gansu，734000，China） Abstract This paper presents a matrix for only the ranks of the original inverse transform each feature vector can be obtained synchronization method, and do not take into account the characteristic matrix parameters Key words Eigenvalues:Eigenvectors; Algorithm 1 引言 矩阵的特征值与特征向量在许多实际问题中都有重要的应用,如矩阵对角化问题,求解常系数线性微分方程组的基解矩阵问题.但是其求法很少被讨论.在一般的教材中,所介绍的都是经典的方法.即就是先求矩阵的特征方程，再求得特征值,在通过求解相应的齐次线性方程组求出其对应的特征向量.而这种方法计算量大,不易手工计算.另外虽然也有矩阵的初等变换求特征值的方法,但也需要另外计算相应的特征向量.基于这样的问题,本文介绍一种只需对特征值矩阵作适当行列互逆变换就能同步解出矩阵的特征值的简便方法.这种方法的优点在于只需对矩阵进行相应的行列互逆变换就可求得矩阵的特征值和特征向量,避免了传统方法需要求解代数方程和行列式计算等一系列繁琐的计算问题. 2 基本定理及定义 定义1 把矩阵的下列是三种变换称为行列互逆变换： 1 互换两行，同时互换两列； 2 第行乘非零数,同时第列乘； 3 第行乘倍加入列，同时列乘倍加入第列. 定理1 为阶可对角化矩阵，并且经过一系列的行列互逆变换后变换为.其中 . . . 则为的全部特征值. 为的对应的特征向量. 证明 由于矩阵初等行变换就相当于在的左边乘上相应初等矩阵,矩阵初等列变换就相当于在右边乘上相应初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义，知为若干初等乘积，当然可逆.且 即 所以 因为 所以 所以 证毕. 用这种方法求解经常会遇到或的矩阵化对角阵问题非常有效.具体的方法就是将通过初等变换把化为对角阵.对角线上的数则是的特征值，对应的后面的矩阵则是特征值相对应的特征向量. 3 主要应用 3.1 基本应用 例1 求矩阵的特征值和特征向量. 其中 解 通过对矩阵行列互逆变换求的. 通过互逆变换得 解得；； 对应的特征向量是；；. 例2 求的特征值与特征向量. 解 ， 所以，特征值，；特征向量分别为，. 例3 求矩阵的特征值. 解 由矩阵的一般方法可得矩阵的特征方程为 ， 解得，. 另解 由于 ， 即可得特征值为. 3.2 特征值的一个基本性质及应用 特殊特征值的一个性质： 性质1(1) 若，则的特征值只可能是或. （2）若，则的特征值只可能是或. 证明 （1）设是矩阵的一个特征值.是的属于特征值的一个特征值向量，，上式左乘矩阵，得，即，由于，所以，即，因此，而.所以故，.因此，若，则的特征值只可能是或.当时则是或. 同理，若(2)若，则的特征值只可能是或.当时为或. 例4 用性质1求解例3． 解 由于 ， 即可得特征值为. 例5 求矩阵的特征值. 解 由求特征值的一般方法可得矩阵的特征方程为，即，解得，. 另解 由于，利用性质1可知，矩阵的特征值是或. 例6 求矩阵的特征值. 解 由求特征值的一般方法可得矩阵的特征方程为，即,解得，. 另解 由以上性质可得,利用性质1可知，矩阵的特征值是或. 通过以上的例题求解可以看出，求解矩阵的方法多种多样.而对特殊矩阵来说找到其特殊的方法则可事半功倍. 致谢