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谈高考中向量运用技巧 　　向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，同时又是数形结合思想运用的典范。向量作为代数对象，它可以运算；作为几何对象，它有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；它有长度，可以刻画距离、面积、体积等几何度量问题。正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁和纽带。因此，在历年全国各个省市的高考中都是一个必考点。在高考中，它不但可以单独成题，着重考查向量本身的基础知识和方法；且常与其他知识（如平面几何、解析几何、三角函数与解三角形、数列等）一起进行综合考查，侧重考查学生的综合能力。在新课改中，更加突出了向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值。因此，在新课改条件下的高考中与其他知识一起进行综合考查更加频繁，它能很好地考查学生的应用能力、探究能力、创新能力，充分体现新课改精神，深受命题专家青睐。 　　正因为向量成为联系多项内容的桥梁和纽带，所以高考中常以向量为载体，结合其它知识考查，或以向量为工具巧解其它难题，它灵活多变，不能掌握它的技巧，学生一遇到这样的题型找不到抓手和解题的支点，从而无处下手。下面就几个例题谈谈有关运用向量解题的几个技巧。 　　一、明修栈道，暗度陈仓 　　例1：设为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若■+■+■＝0，则|■|+|■|+|■|=（B）。 　　A.9 B.6 C.4 D.3 　　解析：设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若■+■+■＝0，则F为△ABC的重心， 　　∴A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， 　　∴|FA|+|FB|+|FC|=（xA+1）+（xB+1）+（xC+1）=6，选B。 　　点评：注意满足■+■+■=0，则F为△ABC的重心，表面上是向量的模长和，实际为抛物线上的点到焦点的距离和问题就不难解决了。 　　二、拨云现日 　　例2：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足O■=OA+λ（■+■），λ∈[0，+∞）则P点的轨迹一定通过△ABC的（B）。 　　A.外心 B.内心 C.??心 D.垂心 　　解析：因为■是与■同方向的单位向量，所以■+■是两个与A■，A■方向相同的单位向量的和，根据平行四边形法则可知■+■是菱形的对角线由O■=OA+λ（■+■），λ∈[0，+∞）知O、A、P三点共线，所以P在∠BAC的平分线上，故选B。 　　点评：注意几何知识的向量表示形式和向量线性运算的本质，“拨开云雾”找到解决问题的钥匙，用平面几何知识来解决，“一轮红日就冉冉升起”。 　　三、一叶知秋 　　例3：在直角中，D是斜边AB上一点，P是CD上一点，且满足C■＝■（C■+C■），A■=■（A■+A■），则■=（D）。 　　A.2 B.4 C.5 D. 10 　　解析：由于对任意直角三角形只要满足C■＝■（C■+C■），A■=■（A■+A■）都有所求的值固定不变的性质，因此特殊的直角三角形也一定会满足这一性质，C■＝■（C■+C■），A■=■（A■+A■）表示D为边AB的中点，P为CD中点，不妨以等腰直角三角形为例，设腰长是2a则，|A■|=2■a，|C■|=■a=|A■|，CD⊥AB所以，|C■|=■a，|A■|■=|A■|■+|P■|■=■a■=|B■|■，■=■=10。 　　点评：以向量为载体用向量表几何性质的问题先回到几何问题本身，然后用特殊代替一般使问题简化。真是“一叶知秋”呀！ 　　四、移花接木 　　例4：已知，是原点，点的坐标满足■x-y≤0x-■y+2≥0y≥0。则（1）■的最大值为 ；（2）z=■的取值范围是 。 　　解析：（1）由O■＝（3，■），O■＝（x，y），|O■|=2■， 　　所以■＝■■（y+■x）转化为求y+■x的最大值，故填■。 　　（2）z=■=■＝｜O■｜cos〈O■，O■〉这就转化为在可行域内找一点P使O■，O■的夹角最小和最大，故填[-3，3]。 　　点评：本题通过向量的数量积坐标运算，（下转第179页）（上接第164页）“移花接木”将目标转化为线性规划问题解决起来就轻而易举。 　　五、偷梁换柱 　　例5：设两个向量■（λ+2，λ2-cos2α）和■=（m，■+sinα）其中λ，m，α为实数。若■＝2■，则■的取值范围是（A） 　　A.[-6，1] B.[4，8] C.（-∞，1] D.[-1，6] 　　解析：由■（λ+2，λ2-cos2α），■=（m，■+sinα），■=2■， 　　可得λ+2=2mλ2-cos2α=m+2sinα，设■=k，代入方程组可得 　　km+