2016-2017学年高中数选修4-1（人教版）练习：第二讲2.3圆的切线的性质及判定定理Word版含解析.docVIP

第二讲 直线与圆的位置关系 2.3 圆的切线的性质及判定定理 A级　基础巩固 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于切线的直线必经过切点 解析：A垂直于半径且经过半径外端的直线是圆的切线，B显然不正确，C正确，D显然不正确． 答案：C 2.如图所示，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A＝40°，则∠APB等于(　　) A．25°　　　　　　 B．20° C．40° D．35° 解析：如图所示，连接OP. 因为AP为圆O的切线， 所以∠OPA＝90°. 因为∠A＝40°， 所以∠AOP＝90°－40°＝50°. 因为OP＝OB， 所以∠OPB＝×(180°－50°)＝65°. 所以∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90°－65°＝25°. 答案：A 3.如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则cos∠APO的值为(　　) A. B. C. D. 解析：因为PA为⊙O的切线， 所以OA⊥PA，在Rt△OAP中， OP＝＝＝5. 故cos∠APO＝＝. 答案：C 4．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是(　　) A．AB与⊙O相切于直线CD上的点C B．CD经过圆心O C．CD与⊙O相交 D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O 解析：由圆的切线性质定理，可选D. 答案：D 5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心的圆与斜边AB相切于点D，则⊙C的半径为(　　) A．5 B. C. D．1 解析：连接CD(如图)， 则CD⊥AB. 由三角形面积公式， 得S△ABC＝AB·CD＝AC·BC. 所以CD＝. 又因为AB＝＝＝5， 所以CD＝. 答案：C 二、填空题 6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC与⊙A相切于点D，与AB相交于点E，则∠BDE＝________． 解析：因为BC与⊙A相切于点D， 所以AD⊥BC. 且∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°， 又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形， 即∠ADE＝60°. 所以∠BDE＝90°－∠ADE＝30°. 答案：30° 7．如图所示，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB.若∠ABC＝70°，则∠A等于________． 解析：因为BC与⊙O相切于点B， 所以OB⊥BC. 所以∠OBC＝90°.因为∠ABC＝70°， 所以∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°. 因为OA＝OB，所以∠A＝∠OBA＝20°. 答案： 20° 8．如图所示，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD＝1，AD＝3，那么cos∠ACB＝________． 解析：连接BD(如图)， 因为AB为半圆的直径， 所以∠ADB＝90°， 即BD⊥AC. 又因为BC为半圆的切线， 所以AB⊥BC. 所以Rt△BDC∽Rt△ADB. 所以＝，即BD2＝AD·CD＝3. 所以BD＝. 所以Rt△ADB中， AB＝＝2. 所以cos∠ACB＝cos∠ABD＝＝＝. 答案： 三、解答题 9．如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，点P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于点R，求证：RP＝RQ. 证明：连接OQ(如图)． 因为QR是⊙O的切线， 所以OQ⊥QR. 因为OB＝OQ， 所以∠B＝∠OQB. 因为BO⊥OA， 所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP， 所以∠RPQ＝∠PQR， 所以RP＝RQ. 10．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，试证明PE是⊙O的切线． 证明：如图所示，连接OP、BP， 因为AB是⊙O的直径， 所以∠APB＝90°. 所以∠BPC＝90°.又因为BE＝CE， 所以PE＝BE.所以∠3＝∠1. 又因为OP＝OB，则∠4＝∠2. 由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°. 所以∠3＋∠4＝90°.即OP⊥PE. 所以PE是⊙O的切线． B级　能力提升 1.如图所示，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于点C，AC＝BC，则sin∠MCA等于(　　) A. B. C. D. 解析：连接OC(如图)． 因为MN切⊙O于点C， 所以OC⊥MN， 所以∠MCA＋∠ACO＝90°. 因为OC＝OA，所以∠ACO＝∠CAO. 因为AB是⊙O的直径， 所以∠ACB＝90°， 所以∠CAO＋∠B＝90°， 所以∠MCA＝∠B. 因为AC＝BC，即B