第二节重积分的计算法.ppt

第二节 二重积分的计算法 利用直角坐标计算 利用极坐标计算 例1. 计算 例2. 计算 例4. 计算 例5. 交换下列积分顺序 例6. 计算 例6. 计算 例7. 求球体 关于（二）重积分计算的说明： 一、基本方法——化为累次积分（降维数）。 二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。根据： 1）积分域的形状（分块少，表达简便） 曲边梯形、边界主要为直角坐标线——直角坐标， 曲边扇形、边界主要为极坐标线——极坐标； 2）被积函数的形式（各层积分中的原函数易求） 含 x2+y2 ——极坐标。 三、利用对称性、轮换对等性化简计算。 四、利用几何意义化简计算。 五、化为二次积分后，各层积分都有：上限下限。 计算步骤及注意事项 作 业 习题10-1 * 1/20 如果D由 x=a、x=b、y=?1(x) 、 y=?2(x) 围成，即 一、利用直角坐标计算 称为X型。 ——上下型， 2/20 （左右型） Y型域 非X型非Y型域 可用直角坐标线分割为若干个X型或Y型域。 3/20 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 解 6/20 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则 二重积分中的奇偶对称性： 当积分区域关于X轴对称时，考虑被积函数关于y的奇偶性，“奇0偶倍”。 当积分区域关于Y轴对称时，考虑被积函数关于x的奇偶性，“奇0偶倍”。 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 解 画积分区域如图 4/20 解 原式 5/20 解 7/20 轮换对等性： 积分域关于y=x对称，则： 例5 求 解 8/20 解 画图. 9/20 二、利用极坐标计算 极坐标下的面积元素 极坐标下的表达式： 10/20 ?型域 D： 11/20 极点在区域之外 极点在区域之边界 极点在区域之内 解 13/20 解 14/20 对称性 解 15/20 解 16/20 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 17/20 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积分好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 * * * * *