离散数学课件第四部分图练习题答案.docVIP

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离散数学课件第四部分图练习题答案

《离散数学》第四部分---图论练习题答案 一、选择或填空 1、设G是一个哈密尔顿图,则G一定是( )。 (1) 欧拉图 (2) 树  (3) 平面图 (4) 连通图 答:(4)答:(2) 答:所有结点一次且恰好一次答:以v为起点的边的条数, 以v为终点的边的条数答:1答:, n-1n与边数m关系是(    )。 答:m=n-1 答:所有边一次且恰好一次 答:2n-2 答:(1) 答:n(n-1),2n-2 答:它是连通图 答:(3) 答:2 答:1,树 答:(1) 答:(4) 答:(4) 答:有向图 答:偶数 答:(3) 答:(2) 答:(4) 答:(1) 答:(3) 答:(2) 证明在有n个结点的树中,其结点度数之和是2n-2。 证明: 设T=V,E是任一棵树,则|V|=n,且|E|=n-1。 由欧拉握手定理,树中所有结点的度数之和等于2|E|. 从而结点度数之和是2n-2。 任一图中度数为奇数的结点是偶数个。 证明: 设G=〈V,E〉是任一图。设|V|=n。 由欧拉握手定理可得 deg(v)=2|E|可得,图中所有结点度数之和是偶数。显然所有偶数度结点的度数之和仍为偶数,从而所有奇数度结点的度数之和也是偶数。因此,图中度数为奇数的结点一定为偶数个。 连通无向图G的任何边一定是G的某棵生成树的弦。这个断言对吗?若是对的请证明之,否则请举例说明。 证明: 不对。 反例如下:若G 本身是一棵树时,则G的每一条边都不可能是G的任一棵生成树(实际上只有惟一一棵)的弦。 设T=V,E是一棵树,若|V|1,则T中至少存在两片树叶。 证明: (用反证法证明)设|V|=n。 因为T=〈V,E〉是一棵树,所以|E|=n-1。 由欧拉握手定理可得 deg(v)=2|E|=2n-2。 假设T中最多只有1片树叶,则deg(v)2(n-1)+12n-2。 得出矛盾。 画一个使它分别满足: 有欧拉回路和哈密尔顿回路; 有欧拉回路,但无条哈密尔顿回路; 无欧拉回路,但有哈密尔顿回路; 既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路。 解 设无向图G=V,E,|E|=12。已知有6个3度顶点,其他顶点的度数均小于3。问G中至少有多少个顶点? 解: 设G中度数小于3的顶点有k个,由欧拉握手定理 24= 知,度数小于3 的顶点度数之和为6。故当其余的顶点度数都为2时,G的顶点最少。即G中至少有9个顶点。 设图G=V,E,|V|=n,|E|=m。k度顶点有nk个,且每个顶点或是k度顶点或是k+1度顶点。证明:nk=(k+1)-2m。 证明: 由已知可知,G中k+1度顶点为n-nk个。再由欧拉握手定理可知 2m==knk+(k+1)(n-nk)=(k+1)n+-nk 故nk=(k+1)-2m。 设G=V,E是一个连通且|V|=|E|+1的图,则G中有一个度为1的结点。 证明: (用反证法证明) 设|V|=n,则|E|=n-1。 由欧拉握手定理可得 deg(v)=2|E|=2n-2。 因为G连通,所以vV,deg(v)1。假设G中没有1片树叶,则deg(v)2n2n-2。 得出矛盾。 若n阶连通图中恰有n-1 条边,则图中至少有一个结点度数为1。 证明: (用反证法证明)设G=V,E有n-1条边且|V|=n。 由欧拉握手定理可得 deg(v)=2|E|=2n-2。 因为G是连通图,所以G中任一结点的度数都大于等于1。 假设G中不存在度数为1 的结点,则G中任一结点的度数都大于等于2.故deg(v)2(n-1)+12n-2, 得出矛盾。 若G有n个结点,m条边,f个面,且每个面至少由k(k3)条边围成,则 mk(n-2)/(k-2)。 证明: 设连通简单无向平面图G=〈V,E,F〉,则|V|=n,|E|=m,|F|=p。 由已知对任一fF, deg(f)k。 由公式deg(f)=2|E|可得,2|E|k|F|。 再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|V|-|E|+|E|2。 即k(n-2)(k-2)m。 所以mk(n-2)/(k-2)。 设G=V,E是连通的简单平面图,|V|=n3,面数为k,则k2n-4。 证明: 记|E|=m。因为G=V,E是连通的简单平面图,故每个面的度数都不小于3。从而由公式deg(f)=2|E|可得 3k2m 再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2有 m=n+k-2 及 kn+k-

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