第一章导数及应用(复习课).pptVIP

例3、已知f (x) =2x2+3x f ?(1), f ?(0)= 解:由已知得: f ?(x)=4x+3 f ?(1), ∴ f ?(1)=4+3 f ?(1), ∴ f ?(1)=-2 ∴ f ?(0)= 4×0+3 f ?(1)=3×(-2)=-6 例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？ 解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x 例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？ 变式1：求过点A的切线方程？ 例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f ?(x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f ?(0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f ?(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a 小结： 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 定积分的定义： 例1、求曲线 与直线 x轴所围成的图形面积。 略解：根据定积分的几何意义所求面积为 （一）利用定积分求平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 平面图形的面积 特别注意图形面积与定积分不一定相等, 的图像与 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0. 如函数 1、求直线 与抛物线 所围成的图形面积。 略解：如图直线 与抛物线 的交点 坐标为（－1，1） 和（3，9），则 2、求由抛物线 及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 x y o y=－x2+4x-3 略解： 则在M、N点处的切线方程分别为 、 （3/2，3） * * * 知识结构 Ⅰ、导数的概念 Ⅱ、几种常见函数的导数公式 Ⅲ、求导法则 Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义 Ⅵ、导数的应用 1．判断函数的单调性 2．求函数的极值 3．求函数的最值 例2：用公式法求下列导数： （1）y= （3）y=ln(x+sinx) （2）y= （4）y= 解(1)y′= (2) (3) (4) 解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， ①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x 解得x0=1或x0=－ k= f/(x0)= 3 x02－1， ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 1) 如果恒有 f′(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 定理 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 返回 x y o 1 2 x y o