(必背)高考数学椭圆与双曲线的经典50条性质.docVIP

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为. 如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ． 求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ． 剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便．如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ．若能消去r1r2，问题即获解决． 证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2， 则S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c， 由余弦定理有 （2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ）， 于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2． 所以r1r2=． 这样即有S=·sin2θ=b2=b2tanθ． 评述：解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决． 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ). 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 双曲线 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , 当在右支上时，,. 当在左支上时，, 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. 已知椭圆（ a