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基于CVaR与平均离差波动限制投资组合模型 　　摘要： 提出了一种基于CVaR的投资组合模型，对组合资产收益率不做正态分布假设，用MAD模型作为一个约束条件，实现波动性度量限制，用上凸效用函数作为一个约束条件，表示风险资产交易费用。实验结果表明，该模型满足实际投资要求，符合实际投资规律，与M-V模型和原始CVaR模型相比具有波动性和风险价值最小化的优势。 　　Abstract： This paper puts forward a portfolio model based on the CVaR model which doesnt make normal distribution hypothesis on profit of portfolio， takes MAD model as a limit function to realize the measurement limit of volatility， and makes use of convex utility function to express transaction costs of risk assets as a constraint condition. The experimental results show that the model satisfies actual investment requirements， conforms to the actual investment law， and compared with M-V model and original CVaR model， it has advantage of volatility and minimum risk value. 　　关键词： 投资组合；CVaR模型；M-V模型；MAD模型 　　Key words： portfolio；CVaR；M-V；MAD 　　中图分类号：F224.3 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）31-0008-02 　　0 引言 　　投资组合的根本目的是指导投资者使用合理的分散投资方法，使收益与风险达到平衡。马克维茨建立了均值-方差M-V模型[1]，阐述了风险和组合期望收益的关系。该模型的方差波动既包含了损失，也包含了收益，但收益的波动不应该计入损失，其次波动性只能描述风险的部分特征。今野和山崎提出了平均离差模型，将离散情况下的优化问题转化为线性优化问题，通过度量波动性来衡量风险大小，但无法计算投资组合损失的均值。JP摩根公司提出了一种衡量资产下行风险的的方法VaR（Value at Risk），可在整体一致的框架内仅用一个易于理解的数字来度量由许多复杂工具构成的组合市场风险，但无法满足一致风险测度理论[2]。洛克菲勒和尤尔约瑟夫提出了CVaR模型，当资产收益率服从正态分布时，可以很好地描述投资组合的有效前沿，但低估了实际重大损失的风险。另外，虽然该模型满足一致风险度量理论且符合凸性公理，但无法控制投资组合的波动性风险。 　　文章提出一种改进的CVaR的模型，将MAD模型作为波动性???束条件加入到CVaR模型中，从而使CVaR模型可对波动性加以控制，将交易费通过上凸效用函数表示并写入约束条件中，通过历史模拟法求解CVaR模型，从而避免因数据分布后尾偏大可能造成的重大损失。 　　1 改进的CVaR模型 　　假设未来收益符合过去J个交易期的分布且资产无限可分，各资产不允许卖空且含交易费用，有N种资产，第i种资产的分配比例为xi（i=1，2，…，N），x1+x2+…+xN=1，在第j期、第i种资产的收益率为rij（i=1，2，…，N；j=1，2，…，J），第i种资产的平均收益率为■，第i种资产的交易费率为ki（i=1，2，…，N），损失函数为各资产收益的相反数为f（xij，rij）。 　　目标函数： 　　CvaR模型是在一定置信度下和持有期内，投资组合的损失超过给定VaR值的情况下该投资组合损失的平均值。它反应了超额损失的平均水平，其数学表达式为： 　　CVaR=E[f（x，r？叟VaRβ）] 　　=VaRβ+E[f（x，r）-VaRβ│f（x，r）？叟VaRβ]（1） 　　由CVaR原始目标函数可以推导出其离散形式为 　　CVaRβ=VaRβ+■■（f（x，r）-VaRβ）■（2） 　　约束条件： 　　限制性卖空约束各资产的投资比例权重xi∈[0，1]（i=1，2，…，N）。 　　波动性限制用平均离差模型实现，其历史模拟法的表示为： 　　minδ■=■*■■x■（r■-■）（3） 　　一般来说，投资者对待风险资产要求满足上凸效用函数，即函数的一阶导数大于零，二阶导数小于零。由于负指数函数满足上述要求，因此选取