首先我们将列举出一些常见的CatalanNumbers的模型如下.DOC

前言 　　凱特蘭數的模型有上百種，很難一一仔細介紹，因此在第一部分中先簡單的介紹什麼是凱特蘭數，它具有什麼樣的性質。 在第二部分中，列出了六種較常見也較淺顯易懂的模型，而這六種模型中以模型Ⅰ及模型Ⅴ最廣為人知且基本。 在第三部分中，則去找出這六種模型之間的相互對應關係， 在第四部分中，舉出五種較特別的模型，並將這五種模型與模型Ⅰ或模型Ⅴ互相對應。 在討論的部份中，則是探討在一些模型中發現的特殊性質。 第一部分 定義： 　　將多個未知數用個括弧以合法的方式將之括起來有許多種方法，而這樣的方法數我們稱之為凱特蘭數。 性質： 滿足像這樣的遞迴關係式， 的生成函數為。 proof假設的生成函數為， proof先計算 因此而且 第二部分 　　首先，我們將列舉出一些常見的Catalan Numbers的模型，如下： 平面二元樹圖（Plane binary trees）且有個終點（end point），即有個頂點（vertex)。此時，我們將平面二元樹圖的終點由右至左依序標上1, 2, …, 等數字，以為例，下圖為的情形： 由個及個所組成的數列，並滿足部份和皆大於等於。以為例，以下為的情形： 將個未知數用個括弧以合法的方式將之括起來。以為例，以下為的情形： 每次移動或是，移動個及個且保持位置都不會低於起點的方式。以為例，以下為的情形： 在直角坐標平面上，從以走捷徑的方式走到，但都不會超過這條直線。以為例，以下為的情形： 將正邊形用未在內部相交的條對角線分成個三角形。從某一個邊開始，依序標上1, 2, …, 等數字，並在最後一條邊標上。（此一作法，目的是為了讓我們所要討論的內容不會因為旋轉而受到影響）以為例，以下為的情形： 第三部分 　　我們從這六種模型中挑出兩個基本模型Ⅰ和Ⅴ，並將這幾種模型用一些很巧妙的方式將它們做聯結，並有以下的聯結圖。 （ⅠⅤ） （Ⅰ→Ⅴ）我們先將樹圖逆時鐘旋轉，從起點開始，在邊上依序標號，規則如下：由最左邊的點開始，先往右上開始標號，若是遇到無法再向右上標號的頂點時，回到前面有連結尚未標號的邊的頂點，往右下標號一次後，再往右上標號，又遇到無法再向右上標號的頂點時，再回到前一頂點，往右下標號一次，再往右上標號，如此步驟可將所有的邊都標上數字。如下圖。 （此為的情形） （此為的情形） 　　再來，依照標示邊的順序，右上則為在模型Ⅴ中移動，右下則為在模型Ⅴ中移動。 （Ⅴ→Ⅰ）同樣地，從開始，在捷徑上每次移動的路徑標上順序。再任取一點做為樹圖的起點，按照順序從起點開始畫出樹圖的邊。若是在模型Ⅴ中移動，則往右上畫一條邊，若是在模型Ⅴ中移動，則往前至只有一個後繼元的頂點向右下畫一條邊。 （ⅠⅢ） （Ⅰ→Ⅲ）從底層開始，將兩連續整數立即相接（如立即相接，而並沒有立即相接）的頂點標上（如）；同樣地，往上一層，將立即相接的頂點標上記號，（如），如此直到樹圖的起點也被標上記號為止。再將數字變成即可。 （此為的情形） （此為的情形） （Ⅲ→Ⅰ）先將數字變成，以為例，變成，從最外層的括弧開始，拿去括弧之後剩下和，因此以某一點為樹圖的起點，畫出兩個後繼元，一個為（因為比任何的數字都小，故將擺在右邊），另一個為，同樣地拿去最外層的括弧，剩下和，因此也在畫出兩個後繼元，一個為（因為比任何的數字都大，故將擺在左邊），另一個為，如此直到沒有括弧為止，即可得到一個與相對應的樹圖。 （ⅠⅣ） （Ⅰ→Ⅳ）同（Ⅰ→Ⅴ）在樹圖上對邊標號，並依照順序，若是右上則在模型Ⅳ中移動，若是右下則在模型Ⅳ中移動即可。 （此為的情形） （此為的情形） （Ⅳ→Ⅰ）任取一點做為樹圖的起點，按照在模型Ⅳ中按照移動的順序，從起點開始畫出樹圖的邊。若是在模型Ⅳ中移動，則往右上畫一條邊，若是在模型Ⅳ中移動，則往前至只有一個後繼元的頂點向右下畫一條邊。 （ⅥⅢ） （Ⅵ→Ⅲ）如圖，和為兩連續正整數且同時為一個三角形的兩邊，故在第三邊標上；同樣地，和同時為一個三角形的兩邊，故在第三邊標上；和同時為一個三角形的兩邊，故在第三邊標上；再將轉換成即可。 （此為的情形） （此為的情形） （Ⅲ→Ⅵ） （Ⅲ→Ⅵ）以的為例，先畫出一個正五邊形，並在五個邊以順時鐘方向標上。首先將轉換成，拿去最外層括弧後，剩下和，因此連線段使得原來的和剩下的,形成一個三角形；同樣地，拿去最外層括弧後，剩下和，因此連線段使得原來的和剩下的,形成一個三角形；如此下去，即可。 （ⅥⅠ） （Ⅵ→Ⅰ）先在模型Ⅵ的圖形中，各線段皆取中點。從邊的中點開始，自的中點連向兩邊的中點，再由兩邊的中點各自連向未連過三角形的另兩邊中點，如此下去直到都連到正邊形的邊為止，可得到一個平面二元樹圖。在不影響樹圖結構及維持終點數字由右至左遞增的條件下，將方才所連的線段繪成標準的樣子，即可。 （此