北师大版七年级数学上册北师大七年级数学上册《展开与折叠》典型例题2.doc

《展开与折叠》典型例题 例1 如图是正方体纸盒的展开图，请把－10，8，10，－8，－2，2分别填入六个不同的正方形中，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数．（填写出一种方案即可） 例2 下列图形是哪些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称． 例3 如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为－4的面与其对面上的数字之积是_____________． A．4 B．12 C．－4 D．0 例4 如图（a），一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体的三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是什么？ 例5 如图（a）是正方体分割后的一部分，它的另一部分是图（b）中的（ ） 例6 哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？ 参考答案 例1 分析 为便于表述与思考，将每个小正方形写上字母，得下图． a、b、c、d四个小正方形呈“一”字形连在一起，可见它们是正方体的四个侧面，而e与f则是正方体的上、下底面． 上、下底面是相对的． 侧面中相对的面在展开图中隔着另一个侧面，所以写着a与c，b与d的面，分别是相对的面． 在每两个相对的面中填入一组题目提供的相反数． 解 可如图所示． 说明 想象立体图形的展开图对于初一学生来说是件不太容易的事情．防止错误的最好的办法是在观察实物和自己动手操作的过程中，经历和体验图形的变化过程．就本题而言，把你画的图剪下来，折叠成模型，既简便易行，又能验证你填写的是否正确． 例2 分析 本题中的两图形的各边相互重合，没有哪个三角形或四边形与图形之间有较大的隔离，不好从想象中的空间上去比较、分析．那么我们还是从最容易确定的底面入手，观察（1）只有四个三角形，则它所在的多面体只可能有一个底，那么它就有三个侧面，显然，这是一个三棱锥；观察（2），发现刚好有两个三角形，三个长方形，那么两个三角形只可能作为底面，三个长方形作为侧面，它是三棱柱． 答案 （1）为三棱锥；（2）为三棱柱． 说明：一个多面体在一般情况下，最多只有两个底面，而侧面却很多，根据这个特点，从判定多面体的底面入手，再判定多面体的侧面，则容易得出多面体的形状。 例3 警示误区 对于正方体，相邻的面不能构成相对的面，同时，还要用运动的观点观察图形，与这个面有一个公共点的面不能与它构成对面． 分析 确定各数字所在的面的对面是解决问题的关键．显然，－4不可能与2，0构成对面上的数，也不可能是1或－1，因为折叠后1与－1构成了与－4相邻的数的面．因此只可能是－3的面与－4的面相对，所以积为12． 答案 B 同类变式 一个无盖的立方体纸盒，将它展开成平面图，有几种可能的图形？ 分析 与例10不同的是立方体少一个面，而且其平面展开图不唯一．因此要按五个面，运用分类的数学思想，应用简单枚举法，将平面图形的可能情况一一列举出来． 答案 将可能的情况分为三类： （1）四个正方形连成一排的有两种情况，如图． （2）三个正方形连成一排的有五种情况，如图． （3）两个正方形连成一排的有一种情况，如图．综上所述，一共有八种展开图． 拓展延伸 同一个立体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的，解题时注意分类讨论． 例4 分析：不妨先结合图（a）①中数字1，4，5的位置，将（a）②作翻转，得到图（b），那么可知数字1与6是对面，5与2是对面，3与4是对面，再结合图（a）③中的数字3，5的位置，画出图（b）的平面展开图图（c），将平面展开图与图（a）③对比，易得“？”表示数字6． 答案 “？”处的数字是6． 说明： 如果只是不断翻转立方体，从立体图形上不易判断出“？”处的数字是什么；先作翻转，再作平面展开图，充分利用立体图形与它的平面展开图的关系来作判断，既简捷又直观． 例5 分析 本题要求寻找出正方体分割成两部分后的对应图形，需要仔细观察分割后剩下的那部分图形的特征，发现图（a）呈“F”型，因此应在四个选项中寻找相应的“F”型． 答案 B 说明：本题涉及立体图形的分割与组合，要善于从局部到整体观察图形的轮廓特征（形状）． 例6分析 本题实质是根据平面展开图判别它属于哪个立体图形，观察（1）发现，中间5个长方形不可能是上下底面，则与五个矩形相连的上下两个五边形可成为底面，则五个长方形构成侧面，其中边缘的两条边重合，则有5条棱，这是一个五棱柱；观察（2）发现只有两个圆可构成底面，长方形可构成侧面，这是一个圆柱；观察（3）发现只有圆才可构成底面，半圆只能围成侧面，那么这只可能是圆锥． 答案 （1）为五棱柱；（2）为圆柱；（3）为圆锥． 拓展延伸 （1）圆锥的侧面是一个曲面，