第六章三角函数 角的概念推广.pptVIP

第六章 三角函数 §6.1 角的概念推广 §6.2 弧度制 §6.3 任意角的三角函数 §6.4 同角三角函数的基本关系 §6.5 三角函数的诱导公式 §6.6 正弦函数的图象与性质 §6.7 余弦函数的图象与性质 §6.8 已知三角函数值求角 §6.1 角的概念推广 (1)拧螺丝时,可按逆时针方向或顺时针方向旋转.螺丝 刀从开始位置按顺时针方向旋转135°与按逆时针方向旋转135°意义是否相同? 怎样区分这两个角呢? (2)时钟的分针15min内转过的角度是90°,1h内转过的 角度是360°,1.5h内转过的角度是多少呢? 在数学上,我们规定:一条射线绕着端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,如图6-2 (1);按顺时针方向旋转形成的角叫做负角,如图6-2 (2).如果一条射线没有做任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角. 图6-2 (1) (2) 我们知道,周角是360°.度量始边绕顶点旋转一周以上的角,只要依旋转方向,将不足一周的角加上或减去若干个周角,就是它的大小. 在图6-3 (1)中,角β=α+2×360°=750°;在图6-3 (2)中,角β=α-2×360°=-750°. 图6-3 (1) (2) 为了方便,经常在平面直角坐标系中研究角.让角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,规定:角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限角.角的终边在坐标轴上时,这个角不属于任何象限,称为非象限角. 图6-4 如图6-4所示,始边为Ox,终边分别为OA,OB,OC,Oy的角依次是第一象限角、第二象限角、第四象限角、非象限角. 锐角是第几象限角? 第一象限角一定是锐角吗? 如果是钝角呢? 1.时钟的时针和分针4h内各转了多少度? 2.在直角坐标系中作出下列各角: (1)120°; (2)210°; (3)-60°; (4)390°. 巩 固 知 识 (1)30°,-330°,390°分别是第几象限角? 它们的终边位置有何关系? (2)你能写出与60°终边相同的角β的表达式吗? 如图6-5,角α,α+360°,α-360°,α+2×360°,α-2×360°,… 的终边都相同. 图6-5 一般地,所有与角α终边相同的角(连同角α在内),可组成一个集合 {β|β=α+k·360°,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角整数倍的和的形式. 例1 找出0°~360°内与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角. (1)-120°； (2)640°； (3)-950° 解 (1)因为-120°=240°-360°,所以在0°~360°内与 -120°终边相同的角是240°,它是第三象限角. (2)因为640°=280°+360°,所以在0°~360°内与640°终边相同的角是280°,它是第四象限角. (3)因为-950°=130°-3×360°,所以在0°~360°内与-950°终边相同的角是130°,它是第二象限角. 温馨 提示 本书中,“α在0°~360°内”一般指“0°≤α360°”. 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合: (1)75°； (2)200°. 解 (1)与75°终边相同的角的集合是 {β|β=75°+k·360°,k∈Z}. (2)与200°终边相同的角的集合是 {β|β=200°+k·360°,k∈Z}. 例3 已知角α与240°终边相同,试判断2α是第几象限角. 解 由已知得α=240°+k·360°(k∈Z),于是 2α=480°+2k·360°, 即 2α=120°+(2k+1)·360°(k∈Z). 因为k是整数,所以2k+1也是整数. 所以2α与120°终边相同,即2α是第二象限角.