第六章 方差分析 杜丹江师范学院.pptVIP

第六章　方差分析 第四章所介绍的t检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用t检验法就不适宜了。这是因为： 1、检验过程烦琐 例如，一试验包含5个处理，采用t检验法要进行10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作k(k-1)/2次类似的检验。 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用t检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个　 　，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。 3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。 由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。 方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。这种方法是将k个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。 方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析，它在科学研究中应用十分广泛。 第一节　方差分析的基本原理 一、数学模型 假定有k组观测数据，每组n个观测值，则用线性可加模型来描述每一观测值有： xij是在第i次处理下的第j次观测值，μ为总体平均数，τi为处理效应，εij是试验误差，要求εij是相互独立的、且服从正态分布N（0，σ2）的。 对于样本估计的线性模型为： x为样本平均数，ti为样本的处理效应，eij为试验误差 依据对τi的不同假定，将数学模型分为固定模型和随机模型。 （一）固定模型 固定模型是指各个处理的效应值τi是固定的，各个处理的平均效应τi=μi-μ，是一个常量，且Στi=0。 试验因素的各水平常常是根据试验目的事先主观选定的，而不是随机选定的。 如几种温度下小麦的发芽情况，不同月龄小白鼠抗药性的测定。 在这些试验中处理的水平是特意选择的，得到结合只适合于方差分析中所考虑的那几个水平，如温度、月龄等因素称为固定因素。 （二）随机模型 随机模型是指各处理的效应值τi不是固定的，而是由随机因素所引起的效应。 这里τi是从期望均值为0，方差为σ2的正态总体中得到的随机变量。 得到的结论可以推广到多个随机因素的所有水平上。 如从美国引进的核桃品种在不同纬度条件下种植，这时各地的气候、水肥、土壤条件无法人为控制，就要用随机模型处理。 有时固定因素与随机因素很难区分，可从另一角度鉴别： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，它的效应值也是固定的，试验重复时可以得到相同的结果。 随机因素的水平不能严格人为控制，在水平确定后其效应并不固定，重复试验时也很难得出相同的结果。 对多因素试验来说还会出现混合模型情况 随机模型和固定模型在设计思想统计推断上有明显不同，因此进行方差分析时的公式也不同。 另外，固定模型主要侧重于效应值的估计和比较；随机模型侧重效应方差的估计和检验。因此在进行分析及试验设计之前就要明确关于模型的基本假设。 对单因素方差分析来说，两种模型无多在区别。 二、平方和和自由度的分解 （一）平方和的分解 设试验A具有k个处理样本，每个样本有n个观测值，则试验A共有nk个观测值，其样本资料可用下表表示。 总平方和SST，处理间或组间平方和SSt，处理内或组内平方和SSe表示。 SST＝ SSt＋ SSe （二）自由度的分解 总自由度＝处理间自由度＋处理内自由度 dfT=dft+dfe dfT=nk-1 dft=k-1 dfe=dfT-dft=k(n-1) 根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差st2和处理内方差se2： 例1：某猪场对4个不同品种幼猪进行4个月增重量的测定，每个品种选择体重接近的幼猪4头，测定结果如下表，试进行方差分析。 本题中，品种数k=4，重复数n=4，观察总数＝4×4＝16 （1）平方和分解 （2）自由度的分解 dfT=nk-1= 4×4-1=15 dft=k-1=3 dfe=k(n-1)=4×(4-1)=12 （3）方差或均方（mean squares）计算 三、统计假设的显著性检验－F检验 进行不同处理差异显著性的F检验时，一般把处理间方差作分子，误差（处理