三角函数的图象和性质A_00003.docVIP

〖人教版高中数学必修四〗 第一章 三角函数 §4. 三角函数的图象与性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的图像 教学过程 一．复习与引入 设角的终边与单位圆的交点为，根据三角函数的定义，我们知道 ， ． 它表示：任意给定一个实数（角的弧度数），有唯一确定的值（或）与之对应，由这个对应法则所确定的函数(或)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是． 二．正弦函数,及余弦函数,图象的画法 我们来考察物理学中“简谐运动”的一个实验，请注意观察它的图像特点． 将塑料瓶底部扎一个小孔做一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可以在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像． 物理学中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”，它表示了漏斗相对平衡位置的位移s随时间变化t的情况． 1．函数,图象的几何画法 作法： ⑴等分：在直角坐标系的轴上任意取一点，以为圆心作单位圆，从与轴的交点起把分成12等份再把轴上从0到这一段()分成12等份． 上的各分点分别作轴的垂线，可得到对应各角的正弦线． ⑶平移：把角的正弦线向右平移，使它的起点与轴上的点重合． ⑷连线：用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到了函数，图象． 上述我们利用单位圆中的正弦线，通过平行移动，作出了，的图象，根据诱导公式：()，即终边相同的角的三角函数值相等． 所以正弦函数在…，，，，…上的图象，与上的图象的形状完全相同，只是位置不同．因此只须把函数,的图象向左、右平行移动，就可以得到正弦函数,的图象． 正弦函数的图象叫做正弦曲线． 点评：正弦函数的图象是描点法平移法完成的： 正弦线，准确地作出点的坐标； 出函数的完整图象 2．余弦函数,的图象 ． ∴余弦函数,与函数，是同一函数． ∴余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到． 余弦函数的图象叫做余弦曲线． 3．正弦函数、余弦函数的图象简易画法——“五点法” ,的图象，有哪几个点对其图象的形状起关键的作用？对于余弦函数,的图象，是否有类似的结论？ 对于正弦函数,的图象，有五个关键的点——与轴交点有三个，图象的最高点、最低点各有一个．五个点的坐标为：,,,,． 对于余弦函数,的图象，类似的有五个关键的点——与轴交点有两个，图象的最高点有两个，最低点有一个．五个点的坐标为： ,,,, ． 事实上，描出这五个点后，函数,(或,)的图象的形状就基本上确定了． 因此，在精确度要求不高时，我们也只要找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数,(或,)的简图，这种作图方法通常称为五点作图法． “五点法”作图虽然不太精确，但可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的简图，使用比较方便． 三．典型例题分析 1．用“五点法”作正、余弦函数的图象 【例1】 画出下列函数的简图 ⑴； ⑵． 解：⑴按五个关键点列表： x 0 sinx 0 1 0 －1 0 1＋sinx 1 2 1 0 1 ⑵按五个关键点列表： x 0 cosx 1 0 －1 0 1 －cosx －1 0 1 0 －1 点评：“五点法”作出正弦函数与余弦函数的图象是基本作图方法，应重点掌握． 形如函数）作图步骤： 表；点；成图 2．利用变换法作正弦、余弦函数的图象 的图像得到的图像？ 同样地，能否从函数的图像，得到函数的图像？ 【例2】 作出函数y＝|sin x|，x[0，4π]的简图： 首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x[0，4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x[0，4π]的简图，如图所示． 3．正、余弦函数图象的简单应用 内，使成立的的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． ⑵满足的的取值范围是 ． 【解析】⑵对于这类问题，过去我们已知知道可以通过单位圆中的三角函数线来解决.现在能否利用三角函数的图像加以解决呢？ 在直角坐标系中，分别作出函数与的图像，观察图像可得，的取值集合是()． 【挑战极限】 1．方程的实数根有 1个；2个； 3个；4个 点评：三角函数的图像是三角函数的另一种几何表示，利用三角函数的图像可以直观地研究三角函数的性质，同时三角函数的图像也为解决三角函数问题提供了另外一条有效途径----数形结合的思想方法． 三．小结 本节主要研究正弦函数,和余弦函数,的图像的画法,其中“五点法”和“变换法”作图是两种常用的作图方法,应熟练地加以掌握． 三角函数的图像是研究三角函数的性质的